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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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M die Summe aller Massen und V deren Potential in d s. Da
nach dem Lehrsatze des 20. Artikels das Integral integral V d s = 4p RM
wird, im ersten Falle oder für A = 0 aber nach dem vorher-
gehenden Lehrsatze das Potential V in allen Punkten der Ku-
gelfläche = 0 wird, im zweiten hingegen kleiner als A und
mit demselben Zeichen behaftet, so wird im ersten Fall 4p R M
= 0, also M = 0, im zweiten hingegen 4 p R M und also auch
M mit demselben Zeichen behaftet sein müssen wie A. Zu-
gleich erhellet, dass in diesem zweiten Falle 4 p R M kleiner
sein wird, als integral A d s oder 4 p R R A, mithin M kleiner als R A,
oder A grösser als [Formel 1] .

Der zweite Theil dieses Lehrsatzes, in Verbindung mit
dem Lehrsatze des vorhergehenden Artikels kann offenbar
auch auf folgende Art ausgesprochen werden:

Wenn von Massen, die in einem von einer geschlossenen
Fläche begrenzten Raume enthalten, oder auch theilweise in
der Fläche selbst stetig vertheilt sind, die algebraische Summe
= 0 ist, und ihr Potential in allen Punkten der Fläche einen
constanten Werth hat, so wird dieser Werth nothwendig selbst
= 0 sein, zugleich für den ganzen unendlichen äussern Raum
gelten, und folglich in diesem ganzen äussern Raume die Wir-
kung der Kräfte aus jenen Massen sich vollständig destruiren.

28.

Man wird sich leicht überzeugen, dass sämmtliche Schlüsse
der beiden vorhergehendem Artikel ihre Gültigkeit behalten,
wenn S eine nicht geschlossene Fläche ist, und die Massen
bloss in derselben enthalten sind. Hier fällt der Raum T ganz
weg; alle Punkte, die nicht in der Fläche selbst liegen, ge-
hören dem unendlichen äussern Raume an, und wenn das Po-
tential in der Fläche überall den constanten von 0 verschiede-
nen Werth A hat, wird es ausserhalb derselben überall einen
kleinern Werth haben, der dasselbe Zeichen hat.

Das auf den ersten Fall, A = 0, bezügliche bleibt zwar
auch hier wahr, aber inhaltleer, da in diesem Fall das Po-
tential V in allen Punkten des Raumes = 0 wird, mithin auch

M die Summe aller Massen und V deren Potential in d s. Da
nach dem Lehrsatze des 20. Artikels das Integral ∫ V d s = 4π RM
wird, im ersten Falle oder für A = 0 aber nach dem vorher-
gehenden Lehrsatze das Potential V in allen Punkten der Ku-
gelfläche = 0 wird, im zweiten hingegen kleiner als A und
mit demselben Zeichen behaftet, so wird im ersten Fall 4π R M
= 0, also M = 0, im zweiten hingegen 4 π R M und also auch
M mit demselben Zeichen behaftet sein müssen wie A. Zu-
gleich erhellet, daſs in diesem zweiten Falle 4 π R M kleiner
sein wird, als ∫ A d s oder 4 π R R A, mithin M kleiner als R A,
oder A gröſser als [Formel 1] .

Der zweite Theil dieses Lehrsatzes, in Verbindung mit
dem Lehrsatze des vorhergehenden Artikels kann offenbar
auch auf folgende Art ausgesprochen werden:

Wenn von Massen, die in einem von einer geschlossenen
Fläche begrenzten Raume enthalten, oder auch theilweise in
der Fläche selbst stetig vertheilt sind, die algebraische Summe
= 0 ist, und ihr Potential in allen Punkten der Fläche einen
constanten Werth hat, so wird dieser Werth nothwendig selbst
= 0 sein, zugleich für den ganzen unendlichen äuſsern Raum
gelten, und folglich in diesem ganzen äuſsern Raume die Wir-
kung der Kräfte aus jenen Massen sich vollständig destruiren.

28.

Man wird sich leicht überzeugen, daſs sämmtliche Schlüsse
der beiden vorhergehendem Artikel ihre Gültigkeit behalten,
wenn S eine nicht geschlossene Fläche ist, und die Massen
bloſs in derselben enthalten sind. Hier fällt der Raum T ganz
weg; alle Punkte, die nicht in der Fläche selbst liegen, ge-
hören dem unendlichen äuſsern Raume an, und wenn das Po-
tential in der Fläche überall den constanten von 0 verschiede-
nen Werth A hat, wird es auſserhalb derselben überall einen
kleinern Werth haben, der dasselbe Zeichen hat.

Das auf den ersten Fall, A = 0, bezügliche bleibt zwar
auch hier wahr, aber inhaltleer, da in diesem Fall das Po-
tential V in allen Punkten des Raumes = 0 wird, mithin auch

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[39/0044] M die Summe aller Massen und V deren Potential in d s. Da nach dem Lehrsatze des 20. Artikels das Integral ∫ V d s = 4π RM wird, im ersten Falle oder für A = 0 aber nach dem vorher- gehenden Lehrsatze das Potential V in allen Punkten der Ku- gelfläche = 0 wird, im zweiten hingegen kleiner als A und mit demselben Zeichen behaftet, so wird im ersten Fall 4π R M = 0, also M = 0, im zweiten hingegen 4 π R M und also auch M mit demselben Zeichen behaftet sein müssen wie A. Zu- gleich erhellet, daſs in diesem zweiten Falle 4 π R M kleiner sein wird, als ∫ A d s oder 4 π R R A, mithin M kleiner als R A, oder A gröſser als [FORMEL]. Der zweite Theil dieses Lehrsatzes, in Verbindung mit dem Lehrsatze des vorhergehenden Artikels kann offenbar auch auf folgende Art ausgesprochen werden: Wenn von Massen, die in einem von einer geschlossenen Fläche begrenzten Raume enthalten, oder auch theilweise in der Fläche selbst stetig vertheilt sind, die algebraische Summe = 0 ist, und ihr Potential in allen Punkten der Fläche einen constanten Werth hat, so wird dieser Werth nothwendig selbst = 0 sein, zugleich für den ganzen unendlichen äuſsern Raum gelten, und folglich in diesem ganzen äuſsern Raume die Wir- kung der Kräfte aus jenen Massen sich vollständig destruiren. 28. Man wird sich leicht überzeugen, daſs sämmtliche Schlüsse der beiden vorhergehendem Artikel ihre Gültigkeit behalten, wenn S eine nicht geschlossene Fläche ist, und die Massen bloſs in derselben enthalten sind. Hier fällt der Raum T ganz weg; alle Punkte, die nicht in der Fläche selbst liegen, ge- hören dem unendlichen äuſsern Raume an, und wenn das Po- tential in der Fläche überall den constanten von 0 verschiede- nen Werth A hat, wird es auſserhalb derselben überall einen kleinern Werth haben, der dasselbe Zeichen hat. Das auf den ersten Fall, A = 0, bezügliche bleibt zwar auch hier wahr, aber inhaltleer, da in diesem Fall das Po- tential V in allen Punkten des Raumes = 0 wird, mithin auch

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 39. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/44>, abgerufen am 28.11.2024.