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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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gross wird: für unsern Zweck ist es jedoch unnöthig, solche
Ausnahmsfälle, die nur in einzelnen Punkten oder Linien vor-
kommen können (also nicht in Theilen der Fläche, sondern nur
an der Grenze von Theilen) besonders zu betrachten.

Endlich ist von selbst klar, dass es sich mit der Grösse Z
oder dem Integrale [Formel 1] ganz eben so verhält, wie mit
Y, nemlich dass dieses Integral, wenn der Punkt O sich in
der ersten Coordinatenaxe dem Punkte P unendlich nähert, einer-
lei Grenzwerth Z0 hat, die Annäherung mag auf der positiven
oder auf der negativen Seite Statt finden, und dass dieser
Grenzwerth zugleich der Werth von [Formel 2] für
x = o ist, insofern man zuerst nach c integrirt.

18.

Erwägen wir nun, dass die Grössen [Formel 3] in
allen Punkten des Raums, die nicht in der Fläche selbst lie-
gen, unbedingt einerlei sind mit X, Y, Z, und dass V sich
überall nach der Stetigkeit ändert, so lässt sich aus den in
dem vorhergehenden Artikel gefundenen Resultaten leicht fol-
gern, dass in unendlich kleiner Entfernung von P, oder für
unendlich kleine Werthe von x, y, z, der Werth von V bis
auf unendlich kleine Grössen höherer Ordnung genau, ausge-
drückt wird durch
[Formel 4] wenn x positiv ist, oder durch
[Formel 5] wenn x negativ ist, wo mit V0 der Werth von V in dem
Punkte P selbst, oder für x = o, y = o, z = o bezeichnet ist.
Betrachten wir also die Werthe von V in einer durch P ge-
legten geraden Linie, die mit den drei Coordinaxen die Win-
kel A, B, C macht, bezeichnen mit t ein unbestimmtes Stück
dieser Linie und mit t0 den Werth von t in dem Punkte P,
so wird, wenn t -- t0 unendlich klein ist, bis auf ein Unend-
lichkleines höherer Ordnung genau
[Formel 6]

groſs wird: für unsern Zweck ist es jedoch unnöthig, solche
Ausnahmsfälle, die nur in einzelnen Punkten oder Linien vor-
kommen können (also nicht in Theilen der Fläche, sondern nur
an der Grenze von Theilen) besonders zu betrachten.

Endlich ist von selbst klar, daſs es sich mit der Gröſse Z
oder dem Integrale [Formel 1] ganz eben so verhält, wie mit
Y, nemlich daſs dieses Integral, wenn der Punkt O sich in
der ersten Coordinatenaxe dem Punkte P unendlich nähert, einer-
lei Grenzwerth Z0 hat, die Annäherung mag auf der positiven
oder auf der negativen Seite Statt finden, und daſs dieser
Grenzwerth zugleich der Werth von [Formel 2] für
x = o ist, insofern man zuerst nach c integrirt.

18.

Erwägen wir nun, daſs die Gröſsen [Formel 3] in
allen Punkten des Raums, die nicht in der Fläche selbst lie-
gen, unbedingt einerlei sind mit X, Y, Z, und daſs V sich
überall nach der Stetigkeit ändert, so läſst sich aus den in
dem vorhergehenden Artikel gefundenen Resultaten leicht fol-
gern, daſs in unendlich kleiner Entfernung von P, oder für
unendlich kleine Werthe von x, y, z, der Werth von V bis
auf unendlich kleine Gröſsen höherer Ordnung genau, ausge-
drückt wird durch
[Formel 4] wenn x positiv ist, oder durch
[Formel 5] wenn x negativ ist, wo mit V0 der Werth von V in dem
Punkte P selbst, oder für x = o, y = o, z = o bezeichnet ist.
Betrachten wir also die Werthe von V in einer durch P ge-
legten geraden Linie, die mit den drei Coordinaxen die Win-
kel A, B, C macht, bezeichnen mit t ein unbestimmtes Stück
dieser Linie und mit t0 den Werth von t in dem Punkte P,
so wird, wenn t — t0 unendlich klein ist, bis auf ein Unend-
lichkleines höherer Ordnung genau
[Formel 6] 

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[27/0032] groſs wird: für unsern Zweck ist es jedoch unnöthig, solche Ausnahmsfälle, die nur in einzelnen Punkten oder Linien vor- kommen können (also nicht in Theilen der Fläche, sondern nur an der Grenze von Theilen) besonders zu betrachten. Endlich ist von selbst klar, daſs es sich mit der Gröſse Z oder dem Integrale [FORMEL] ganz eben so verhält, wie mit Y, nemlich daſs dieses Integral, wenn der Punkt O sich in der ersten Coordinatenaxe dem Punkte P unendlich nähert, einer- lei Grenzwerth Z0 hat, die Annäherung mag auf der positiven oder auf der negativen Seite Statt finden, und daſs dieser Grenzwerth zugleich der Werth von [FORMEL] für x = o ist, insofern man zuerst nach c integrirt. 18. Erwägen wir nun, daſs die Gröſsen [FORMEL] in allen Punkten des Raums, die nicht in der Fläche selbst lie- gen, unbedingt einerlei sind mit X, Y, Z, und daſs V sich überall nach der Stetigkeit ändert, so läſst sich aus den in dem vorhergehenden Artikel gefundenen Resultaten leicht fol- gern, daſs in unendlich kleiner Entfernung von P, oder für unendlich kleine Werthe von x, y, z, der Werth von V bis auf unendlich kleine Gröſsen höherer Ordnung genau, ausge- drückt wird durch [FORMEL] wenn x positiv ist, oder durch [FORMEL] wenn x negativ ist, wo mit V0 der Werth von V in dem Punkte P selbst, oder für x = o, y = o, z = o bezeichnet ist. Betrachten wir also die Werthe von V in einer durch P ge- legten geraden Linie, die mit den drei Coordinaxen die Win- kel A, B, C macht, bezeichnen mit t ein unbestimmtes Stück dieser Linie und mit t0 den Werth von t in dem Punkte P, so wird, wenn t — t0 unendlich klein ist, bis auf ein Unend- lichkleines höherer Ordnung genau [FORMEL]

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 27. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/32>, abgerufen am 27.11.2024.