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Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770.

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Von der unbestimmten Analytic.
t = ac und u = bd, so wird für die erstere p = aabb
-- ccdd, für die andere aber p = aacc - 3bbdd, oder
p = 3bbdd - aacc, welche beyde Werthe einerley seyn
müßen; dahero wir bekommen entweder aabb - ccdd
= aacc - 3bbdd, oder aabb - ccdd = 3bbdd - aacc:
wobey zu mercken daß die Zahlen a, b, c und d
überhaupt kleiner sind als p und q. Wir müßen also
einen jeden dieser beyden Fälle besonders erwegen;
aus dem erstern erhalten wir aabb + 3bbdd = aacc
+ ccdd oder bb(aa + 3dd) = cc(aa + dd), daraus
wird = , welcher Bruch ein Quadrat
seyn muß. Hier kann aber der Zehler und Nenner
keinen andern gemeinen Theiler haben als 2, weil
die Differenz darzwischen 2dd ist. Sollte dahero 2 ein
gemeiner Theiler seyn, so müßte so wohl als
auch ein Quadrat seyn, beyde Zahlen aber
a und d sind in diesem Fall ungerad und also ihre
Quadrate von der Form 8n + 1, dahero die letztere
Formel diese Form 4n + 2 haben wird und
kein Quadrat seyn kann: folglich kann 2 kein ge-
meiner Theiler seyn, sondern der Zehler aa + dd
und der Nenner aa + 3dd sind unter sich untheilbar; da-
hero ein jeder für sich ein Quadrat seyn muß. Weil nun

diese
G g 4

Von der unbeſtimmten Analytic.
t = ac und u = bd, ſo wird fuͤr die erſtere p = aabb
— ccdd, fuͤr die andere aber p = aacc - 3bbdd, oder
p = 3bbdd - aacc, welche beyde Werthe einerley ſeyn
muͤßen; dahero wir bekommen entweder aabb - ccdd
= aacc - 3bbdd, oder aabb - ccdd = 3bbdd - aacc:
wobey zu mercken daß die Zahlen a, b, c und d
uͤberhaupt kleiner ſind als p und q. Wir muͤßen alſo
einen jeden dieſer beyden Faͤlle beſonders erwegen;
aus dem erſtern erhalten wir aabb + 3bbdd = aacc
+ ccdd oder bb(aa + 3dd) = cc(aa + dd), daraus
wird = , welcher Bruch ein Quadrat
ſeyn muß. Hier kann aber der Zehler und Nenner
keinen andern gemeinen Theiler haben als 2, weil
die Differenz darzwiſchen 2dd iſt. Sollte dahero 2 ein
gemeiner Theiler ſeyn, ſo muͤßte ſo wohl als
auch ein Quadrat ſeyn, beyde Zahlen aber
a und d ſind in dieſem Fall ungerad und alſo ihre
Quadrate von der Form 8n + 1, dahero die letztere
Formel dieſe Form 4n + 2 haben wird und
kein Quadrat ſeyn kann: folglich kann 2 kein ge-
meiner Theiler ſeyn, ſondern der Zehler aa + dd
und der Nenner aa + 3dd ſind unter ſich untheilbar; da-
hero ein jeder fuͤr ſich ein Quadrat ſeyn muß. Weil nun

dieſe
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[471/0473] Von der unbeſtimmten Analytic. t = ac und u = bd, ſo wird fuͤr die erſtere p = aabb — ccdd, fuͤr die andere aber p = aacc - 3bbdd, oder p = 3bbdd - aacc, welche beyde Werthe einerley ſeyn muͤßen; dahero wir bekommen entweder aabb - ccdd = aacc - 3bbdd, oder aabb - ccdd = 3bbdd - aacc: wobey zu mercken daß die Zahlen a, b, c und d uͤberhaupt kleiner ſind als p und q. Wir muͤßen alſo einen jeden dieſer beyden Faͤlle beſonders erwegen; aus dem erſtern erhalten wir aabb + 3bbdd = aacc + ccdd oder bb(aa + 3dd) = cc(aa + dd), daraus wird [FORMEL] = [FORMEL], welcher Bruch ein Quadrat ſeyn muß. Hier kann aber der Zehler und Nenner keinen andern gemeinen Theiler haben als 2, weil die Differenz darzwiſchen 2dd iſt. Sollte dahero 2 ein gemeiner Theiler ſeyn, ſo muͤßte ſo wohl [FORMEL] als auch [FORMEL] ein Quadrat ſeyn, beyde Zahlen aber a und d ſind in dieſem Fall ungerad und alſo ihre Quadrate von der Form 8n + 1, dahero die letztere Formel [FORMEL] dieſe Form 4n + 2 haben wird und kein Quadrat ſeyn kann: folglich kann 2 kein ge- meiner Theiler ſeyn, ſondern der Zehler aa + dd und der Nenner aa + 3dd ſind unter ſich untheilbar; da- hero ein jeder fuͤr ſich ein Quadrat ſeyn muß. Weil nun dieſe G g 4

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Zitationshilfe: Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770, S. 471. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/euler_algebra02_1770/473>, abgerufen am 25.11.2024.