Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770.

Von den Algebraiſchen Gleichungen.

aus man ferner erhaͤlt f = $\frac{25}{2}$, g = $\frac{625}{16}$ + 9 = $\frac{769}{16}$ und
h = $\frac{225}{4}$: alſo iſt unſere Cubiſche Gleichung
z³ - $\frac{25}{2}$ z z + $\frac{769}{16}$ z - $\frac{225}{4}$ = 0.
Um hier die Bruͤche weg zubringen, ſo ſetze man z = $\frac{u}{4}$, ſo
wird $\frac{u^{3}}{64}$ - $\frac{25}{2}$ · $\frac{uu}{16}$ + $\frac{769}{16}$ · $\frac{u}{4}$ - $\frac{225}{4}$ = 0, welche mit 64 multipli-
cirt giebt u³ - 50uu + 769u - 3600 = 0, wovon die
drey Wurzeln gefunden werden ſollen, welche alle drey
poſitiv ſind, und wovon eine Wurzel iſt u = 9, um die an-
dere zu finden ſo theile man u³ - 50uu + 769u - 3600
durch u - 9, und da kommt dieſe neue Gleichung uu - 41u
+ 400 = 0 oder uu = 41u - 400, woraus gefunden wird
u = $\frac{41}{2}$ ± √($\frac{1681}{4}$ - $\frac{1600}{4}$) = $\frac{41 \pm 9}{2}$: alſo ſind die drey
Wurzeln u = 9, u = 16, u = 25, dahero wir erhalten;
I.) z = $\frac{9}{4}$, II.) z = 4, III.) z = $\frac{25}{4}$.
Dieſes ſind nun die Werthe der Buchſtaben p, q und r,
alſo daß p = $\frac{9}{4}$, q = 4, r = $\frac{25}{4}$; weil nun √pqr = √h = - $\frac{15}{2}$
und dieſer Werth = ½ b negativ iſt, ſo muß man ſich mit
den Zeichen der Wurzeln √p, √q, √r, darnach
richten: es muß nemlich entweder nur ein minus
oder drey minus vorhanden ſeyn: da nun √p = $\frac{3}{2}$
√q = 2 und √r = $\frac{5}{2}$, ſo werden die vier Wurzeln un-
ſerer vorgegebenen Gleichung ſeyn:

I.)