Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.[Gleich. 66] § 29. Zweiter Beweis d. Liouville'schen Satzes. Werthe, welche zum Werthe s + 2 d s der Independenten ge-hören, wenn man von den Anfangswerthen 58) ausgeht, mit zwei oben angehängten Strichen bezeichnen. g" sei das Gebiet, welches alle Werthe der dependenten Man sieht sofort, dass die Gleichung 55) derjenige specielle 1) Jacobi, Vorlesungen üb. Dynamik, 9. Vorles., S. 71, Gleich. 8. Thomson und Tait, Nat. phil., new ed., Vol. I, p. 1, S. 307, Art. 319, deutsch S. 284. Rausenberger, Mechanik, Leipz. 1888, I. Bd., S. 200. Boltzmann, Gastheorie II. 6
[Gleich. 66] § 29. Zweiter Beweis d. Liouville’schen Satzes. Werthe, welche zum Werthe s + 2 δ s der Independenten ge-hören, wenn man von den Anfangswerthen 58) ausgeht, mit zwei oben angehängten Strichen bezeichnen. g″ sei das Gebiet, welches alle Werthe der dependenten Man sieht sofort, dass die Gleichung 55) derjenige specielle 1) Jacobi, Vorlesungen üb. Dynamik, 9. Vorles., S. 71, Gleich. 8. Thomson und Tait, Nat. phil., new ed., Vol. I, p. 1, S. 307, Art. 319, deutsch S. 284. Rausenberger, Mechanik, Leipz. 1888, I. Bd., S. 200. Boltzmann, Gastheorie II. 6
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0099" n="81"/><fw place="top" type="header">[Gleich. 66] § 29. Zweiter Beweis d. Liouville’schen Satzes.</fw><lb/> Werthe, welche zum Werthe <hi rendition="#i">s</hi> + 2 <hi rendition="#i">δ s</hi> der Independenten ge-<lb/> hören, wenn man von den Anfangswerthen 58) ausgeht, mit<lb/> zwei oben angehängten Strichen bezeichnen.</p><lb/> <p><hi rendition="#i">g″</hi> sei das Gebiet, welches alle Werthe der dependenten<lb/> Variabeln umfasst, die den im Gebiete <hi rendition="#i">G</hi> liegenden Anfangs-<lb/> werthen nach dem Werthe <hi rendition="#i">s</hi> + 2 <hi rendition="#i">δ s</hi> der Independenten ent-<lb/> sprechen und<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">∫ d s″</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">d s″</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">d s″<hi rendition="#sub">n</hi></hi></hi><lb/> sei das über das Gebiet <hi rendition="#i">g″</hi> erstreckte Integrale des Productes<lb/> der Differentiale aller dependenten Variabeln. Dann findet<lb/> man analog, wie man die Gleichung 64) erhielt,<lb/><hi rendition="#c"><formula/>.</hi><lb/> Da nun eine analoge Gleichung für alle vorhergehenden und<lb/> folgenden Zuwächse der Independenten <hi rendition="#i">s</hi> gilt, so hat man<lb/> allgemein:<lb/> 65) <hi rendition="#et"><formula/>.</hi><lb/> Hier bedeuten <hi rendition="#i">σ</hi><hi rendition="#sub">0</hi> und <hi rendition="#i">τ</hi><hi rendition="#sub">0</hi> die Werthe von <hi rendition="#i">σ</hi> und <hi rendition="#i">τ</hi> für <hi rendition="#i">s</hi> = 0;<lb/><hi rendition="#i">∫ d S</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d S</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">d S<hi rendition="#sub">n</hi></hi> aber ist das über das Gebiet <hi rendition="#i">G</hi> erstreckte<lb/> Integrale des Productes der Differentiale aller dependenten<lb/> Variabeln.</p><lb/> <p>Man sieht sofort, dass die Gleichung 55) derjenige specielle<lb/> Fall der Gleichung 65) ist, welchen man erhält, wenn man<lb/> unter <hi rendition="#i">s</hi> wieder die Zeit, unter <hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">s<hi rendition="#sub">n</hi></hi> aber die generali-<lb/> sirten Coordinaten <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">p<hi rendition="#sub">μ</hi></hi> und die Momente <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">q<hi rendition="#sub">μ</hi></hi><lb/> eines beliebigen mechanischen Systemes versteht. Ist nämlich<lb/> wie in § 25 <hi rendition="#i">L</hi> und <hi rendition="#i">V</hi> die kinetische und potentielle Energie<lb/> des mechanischen Systemes und setzt man <hi rendition="#i">L</hi> + <hi rendition="#i">V</hi> = <hi rendition="#i">E</hi>, so lauten<lb/> die <hi rendition="#g">Lagrange’</hi>schen Gleichungen für das mechanische System<lb/> folgendermaassen:<lb/> 66) <hi rendition="#et"><formula/>.<note place="foot" n="1)"><hi rendition="#g">Jacobi</hi>, Vorlesungen üb. Dynamik, 9. Vorles., S. 71, Gleich. 8.<lb/><hi rendition="#g">Thomson</hi> und <hi rendition="#g">Tait</hi>, Nat. phil., new ed., Vol. I, p. 1, S. 307, Art. 319,<lb/> deutsch S. 284. <hi rendition="#g">Rausenberger</hi>, Mechanik, Leipz. 1888, I. Bd., S. 200.</note></hi><lb/> <fw place="bottom" type="sig"><hi rendition="#g">Boltzmann,</hi> Gastheorie II. 6</fw><lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [81/0099]
[Gleich. 66] § 29. Zweiter Beweis d. Liouville’schen Satzes.
Werthe, welche zum Werthe s + 2 δ s der Independenten ge-
hören, wenn man von den Anfangswerthen 58) ausgeht, mit
zwei oben angehängten Strichen bezeichnen.
g″ sei das Gebiet, welches alle Werthe der dependenten
Variabeln umfasst, die den im Gebiete G liegenden Anfangs-
werthen nach dem Werthe s + 2 δ s der Independenten ent-
sprechen und
∫ d s″1 d s″2 … d s″n
sei das über das Gebiet g″ erstreckte Integrale des Productes
der Differentiale aller dependenten Variabeln. Dann findet
man analog, wie man die Gleichung 64) erhielt,
[FORMEL].
Da nun eine analoge Gleichung für alle vorhergehenden und
folgenden Zuwächse der Independenten s gilt, so hat man
allgemein:
65) [FORMEL].
Hier bedeuten σ0 und τ0 die Werthe von σ und τ für s = 0;
∫ d S1 d S2 … d Sn aber ist das über das Gebiet G erstreckte
Integrale des Productes der Differentiale aller dependenten
Variabeln.
Man sieht sofort, dass die Gleichung 55) derjenige specielle
Fall der Gleichung 65) ist, welchen man erhält, wenn man
unter s wieder die Zeit, unter s1, s2 … sn aber die generali-
sirten Coordinaten p1, p2 … pμ und die Momente q1, q2 … qμ
eines beliebigen mechanischen Systemes versteht. Ist nämlich
wie in § 25 L und V die kinetische und potentielle Energie
des mechanischen Systemes und setzt man L + V = E, so lauten
die Lagrange’schen Gleichungen für das mechanische System
folgendermaassen:
66) [FORMEL]. 1)
1) Jacobi, Vorlesungen üb. Dynamik, 9. Vorles., S. 71, Gleich. 8.
Thomson und Tait, Nat. phil., new ed., Vol. I, p. 1, S. 307, Art. 319,
deutsch S. 284. Rausenberger, Mechanik, Leipz. 1888, I. Bd., S. 200.
Boltzmann, Gastheorie II. 6
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898 |
URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/99 |
Zitationshilfe: | Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 81. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/99>, abgerufen am 14.08.2024. |