Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

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[Gleich. 38] § 24. Capillarität.

Punkte mit dem Coordinatenursprunge und die positive Ab-
scissenaxe Winkel bildet, die zwischen th und th + d th liegen.
Das Volumen des Ringes R ist 2 p u2 sin th d u d th. Das r fache
hiervon ist also die gesammte darin enthaltene Masse.

Irgend ein Flüssigkeitstheilchen mit der Masse m', das
innerhalb des Ringes R liegt und die Abscisse x' hat, übt also
auf irgend ein Flüssigkeitstheilchen m, das im Cylinder d Z
liegt und die Abscisse x hat, die Anziehung
[Formel 1] aus, deren in der Richtung der negativen Abscissenaxe ent-
fallende Componente
[Formel 2] ist. Die gesammte im Ringe R enthaltene Flüssigkeitsmasse
übt daher auf die im Volumelemente d Z enthaltene die An-
ziehung
[Formel 3] aus. Die gesammte Anziehung der in der Kugel K enthaltenen
Flüssigkeit auf die im Cylinder Z enthaltene können wir daher,
wenn wir die Reihenfolge der Integrationen so ordnen, wie es
für die Rechnung am bequemsten ist, in der Form schreiben:
[Formel 4] .

Bei Ausführung der Integration nach th integriren wir
bloss über die Kugelschale S, haben also u als constant zu
betrachten. Führen wir f statt u als Integrationsvariable ein,
so erhalten wir also
u x sin th d th = f d f
und die Grenzen für f werden x -- u und x + u. Es wird also:
[Formel 5] ,
wobei ps die schon am Anfange dieses Paragraphen in derselben
Weise bezeichnete Function ist. Die Integration nach x wird
nun ausgeführt, indem man in diesem Ausdrucke x = B setzt

[Gleich. 38] § 24. Capillarität.

Punkte mit dem Coordinatenursprunge und die positive Ab-
scissenaxe Winkel bildet, die zwischen ϑ und ϑ + d ϑ liegen.
Das Volumen des Ringes R ist 2 π u2 sin ϑ d u d ϑ. Das ρ fache
hiervon ist also die gesammte darin enthaltene Masse.

Bei Ausführung der Integration nach ϑ integriren wir
bloss über die Kugelschale S, haben also u als constant zu
betrachten. Führen wir f statt u als Integrationsvariable ein,
so erhalten wir also
u x sin ϑ d ϑ = f d f
und die Grenzen für f werden x — u und x + u. Es wird also:
[Formel 5] ,
wobei ψ die schon am Anfange dieses Paragraphen in derselben
Weise bezeichnete Function ist. Die Integration nach x wird
nun ausgeführt, indem man in diesem Ausdrucke x = B setzt

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[57/0075] [Gleich. 38] § 24. Capillarität. Punkte mit dem Coordinatenursprunge und die positive Ab- scissenaxe Winkel bildet, die zwischen ϑ und ϑ + d ϑ liegen. Das Volumen des Ringes R ist 2 π u2 sin ϑ d u d ϑ. Das ρ fache hiervon ist also die gesammte darin enthaltene Masse. Irgend ein Flüssigkeitstheilchen mit der Masse m', das innerhalb des Ringes R liegt und die Abscisse x' hat, übt also auf irgend ein Flüssigkeitstheilchen m, das im Cylinder d Z liegt und die Abscisse x hat, die Anziehung [FORMEL] aus, deren in der Richtung der negativen Abscissenaxe ent- fallende Componente [FORMEL] ist. Die gesammte im Ringe R enthaltene Flüssigkeitsmasse übt daher auf die im Volumelemente d Z enthaltene die An- ziehung [FORMEL] aus. Die gesammte Anziehung der in der Kugel K enthaltenen Flüssigkeit auf die im Cylinder Z enthaltene können wir daher, wenn wir die Reihenfolge der Integrationen so ordnen, wie es für die Rechnung am bequemsten ist, in der Form schreiben: [FORMEL]. Bei Ausführung der Integration nach ϑ integriren wir bloss über die Kugelschale S, haben also u als constant zu betrachten. Führen wir f statt u als Integrationsvariable ein, so erhalten wir also u x sin ϑ d ϑ = f d f und die Grenzen für f werden x — u und x + u. Es wird also: [FORMEL], wobei ψ die schon am Anfange dieses Paragraphen in derselben Weise bezeichnete Function ist. Die Integration nach x wird nun ausgeführt, indem man in diesem Ausdrucke x = B setzt

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Zitationshilfe:	Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 57. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/75>, abgerufen am 19.04.2024.

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