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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

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I. Abschnitt. [Gleich. 36]

3 b. Es sei t sehr klein, die Substanz habe also eine Tempe-
ratur, die nahe dem absoluten Nullpunkte ist. Dann findet
man aus Gleichung 36) leicht für die Wurzel, welche nahe
gleich 1/3 ist, den Werth
[Formel 1] .
Die andere für uns brauchbare Wurzel aber wird sehr gross
und man findet dafür
[Formel 2] .
Das Minimum von p gehört also zu einer Abscisse, die nur
sehr wenig grösser als O A = 1/3 ist. Der Werth dieser kleinsten
Ordinate ist
[Formel 3] .
Die betreffende Isotherme (5a Fig. 1) sinkt also unendlich
nahe der Verlängerung der Geraden B A nach abwärts bis
zur Ordinate -- 27 unter die Abscissenaxe hinab. Sie kommt
dann wieder herauf (Curve 5 b Fig. 1, wo übrigens dieser auf-
wärts gehende Ast anfangs viel zu steil ansteigend und zu nahe
am Coordinatenursprunge gezeichnet ist) und schneidet nochmals
die Abscissenaxe. Bezeichnen wir die Abscisse, für welche sie
die Abscissenaxe wieder schneidet, mit o3, so ist
[Formel 4] ,
also, da der nahe an 1/3 liegende Werth von o3, welcher dieser
Gleichung ebenfalls genügen würde, dem Durchschnittspunkte
des niedersteigenden Astes 5 a mit der Abscissenaxe entspricht,
nahe o3 = 9 / 8 t. Dieser Ausdruck hat für unendlich kleine t
einen unendlich grossen Werth. Die Ordinaten der Curve
gehen also erst in unendlicher Entfernung vom Coordinaten-
ursprunge wieder zu positiven Werthen über. Für o = o2 = 9 / 4 t,
also in doppelter Entfernung vom Coordinatenursprunge, er-
reichen die wieder positiv gewordenen Ordinaten ihr Maximum,
das den auch nur unendlich kleinen Werth p2 = 16 t2 / 27 hat,
worauf die Curve sich noch mehr der Abscissenaxe nähert.

Zwischen dieser äussersten Isotherme und der Isotherme 3
Fig. 1, welche noch lauter positive Ordinaten hat, liegen natür-
lich zahlreiche Isothermen, welche bereits unter die Abscissenaxe
hinuntersteigen und von denen Curve 4 Fig. 1 ein Beispiel ist.

I. Abschnitt. [Gleich. 36]

3 b. Es sei τ sehr klein, die Substanz habe also eine Tempe-
ratur, die nahe dem absoluten Nullpunkte ist. Dann findet
man aus Gleichung 36) leicht für die Wurzel, welche nahe
gleich ⅓ ist, den Werth
[Formel 1] .
Die andere für uns brauchbare Wurzel aber wird sehr gross
und man findet dafür
[Formel 2] .
Das Minimum von π gehört also zu einer Abscisse, die nur
sehr wenig grösser als O A = ⅓ ist. Der Werth dieser kleinsten
Ordinate ist
[Formel 3] .
Die betreffende Isotherme (5a Fig. 1) sinkt also unendlich
nahe der Verlängerung der Geraden B A nach abwärts bis
zur Ordinate — 27 unter die Abscissenaxe hinab. Sie kommt
dann wieder herauf (Curve 5 b Fig. 1, wo übrigens dieser auf-
wärts gehende Ast anfangs viel zu steil ansteigend und zu nahe
am Coordinatenursprunge gezeichnet ist) und schneidet nochmals
die Abscissenaxe. Bezeichnen wir die Abscisse, für welche sie
die Abscissenaxe wieder schneidet, mit ω3, so ist
[Formel 4] ,
also, da der nahe an ⅓ liegende Werth von ω3, welcher dieser
Gleichung ebenfalls genügen würde, dem Durchschnittspunkte
des niedersteigenden Astes 5 a mit der Abscissenaxe entspricht,
nahe ω3 = 9 / 8 τ. Dieser Ausdruck hat für unendlich kleine τ
einen unendlich grossen Werth. Die Ordinaten der Curve
gehen also erst in unendlicher Entfernung vom Coordinaten-
ursprunge wieder zu positiven Werthen über. Für ω = ω2 = 9 / 4 τ,
also in doppelter Entfernung vom Coordinatenursprunge, er-
reichen die wieder positiv gewordenen Ordinaten ihr Maximum,
das den auch nur unendlich kleinen Werth π2 = 16 τ2 / 27 hat,
worauf die Curve sich noch mehr der Abscissenaxe nähert.

Zwischen dieser äussersten Isotherme und der Isotherme 3
Fig. 1, welche noch lauter positive Ordinaten hat, liegen natür-
lich zahlreiche Isothermen, welche bereits unter die Abscissenaxe
hinuntersteigen und von denen Curve 4 Fig. 1 ein Beispiel ist.

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[32/0050] I. Abschnitt. [Gleich. 36] 3 b. Es sei τ sehr klein, die Substanz habe also eine Tempe- ratur, die nahe dem absoluten Nullpunkte ist. Dann findet man aus Gleichung 36) leicht für die Wurzel, welche nahe gleich ⅓ ist, den Werth [FORMEL]. Die andere für uns brauchbare Wurzel aber wird sehr gross und man findet dafür [FORMEL]. Das Minimum von π gehört also zu einer Abscisse, die nur sehr wenig grösser als O A = ⅓ ist. Der Werth dieser kleinsten Ordinate ist [FORMEL]. Die betreffende Isotherme (5a Fig. 1) sinkt also unendlich nahe der Verlängerung der Geraden B A nach abwärts bis zur Ordinate — 27 unter die Abscissenaxe hinab. Sie kommt dann wieder herauf (Curve 5 b Fig. 1, wo übrigens dieser auf- wärts gehende Ast anfangs viel zu steil ansteigend und zu nahe am Coordinatenursprunge gezeichnet ist) und schneidet nochmals die Abscissenaxe. Bezeichnen wir die Abscisse, für welche sie die Abscissenaxe wieder schneidet, mit ω3, so ist [FORMEL], also, da der nahe an ⅓ liegende Werth von ω3, welcher dieser Gleichung ebenfalls genügen würde, dem Durchschnittspunkte des niedersteigenden Astes 5 a mit der Abscissenaxe entspricht, nahe ω3 = 9 / 8 τ. Dieser Ausdruck hat für unendlich kleine τ einen unendlich grossen Werth. Die Ordinaten der Curve gehen also erst in unendlicher Entfernung vom Coordinaten- ursprunge wieder zu positiven Werthen über. Für ω = ω2 = 9 / 4 τ, also in doppelter Entfernung vom Coordinatenursprunge, er- reichen die wieder positiv gewordenen Ordinaten ihr Maximum, das den auch nur unendlich kleinen Werth π2 = 16 τ2 / 27 hat, worauf die Curve sich noch mehr der Abscissenaxe nähert. Zwischen dieser äussersten Isotherme und der Isotherme 3 Fig. 1, welche noch lauter positive Ordinaten hat, liegen natür- lich zahlreiche Isothermen, welche bereits unter die Abscissenaxe hinuntersteigen und von denen Curve 4 Fig. 1 ein Beispiel ist.

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 32. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/50>, abgerufen am 23.04.2024.