Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

[Gleich. 36] § 13. Specialfälle.

kritischen Druck, das kritische Volumen und die kritische
Temperatur möglich ist. Für den zwischen ⅓ und 1 liegenden
Werth des ω, für welchen d π / d ω mit wachsendem ω von einem
negativen zu einem positiven Werthe übergeht und sich d² π / d ω²
aus Gleichung 35) positiv ergiebt, ist also π ein Minimum, für
den anderen Werth des ω ein Maximum. Für einen dritten
Werth von ω kann d π / d ω nicht verschwinden, denn die
Gleichung 34), welche die Bedingung hierfür angiebt, kann in
der Form geschrieben werden:
36) 4 τ ω³ — (3 ω — 1)² = 0.
Ihr Gleichungspolynom ist für ω = 0 negativ und für ω = ⅓
positiv, ihre dritte Wurzel liegt also in dem zwischen diesen
beiden Werthen des ω eingeschlossenen Intervalle, welches für
uns nicht in Betracht kommt. Für alle Isothermen, die Tempe-
raturen entsprechen, welche kleiner als die kritische sind, hat
also die Ordinate π für eine Abscisse ω, die zwischen ⅓ und 1
liegt, ein Minimum und für eine Abscisse, die grösser als 1 ist,
ein Maximum. Curve 3 Fig. 1 zeigt im Allgemeinen ihre Gestalt.

§ 13. Specialfälle.

Wir betrachten nun noch zwei Specialfälle des dritten Falles.

3 a. Es sei τ nur wenig kleiner als 1, etwa gleich 1 — ε.
Die beiden Ordinaten, für welche π einen Grenzwerth hat, sind
dann ebenfalls nahe gleich 1, wir schreiben sie in der Form
1 + ξ. Die Substitution von τ = 1 — ε und ω = 1 + ξ in
Gleichung 36) liefert, wenn man bloss die Glieder von der
niedrigsten Grössenordnung beibehält, [Formel 1] , während
Gleichung 32) liefert π = 1 — 4 ε. τ und π sind also von der
Einheit um ein unendlich kleines von der Ordnung ε ver-
schieden, während der Unterschied zwischen ω und der Ein-
heit nur unendlich klein von der Ordnung [Formel 2] ist. Die un-
mittelbar unter der kritischen liegenden Isothermen verlaufen
daher (wie Curve 2 in der Fig. 1) in der Nähe des kritischen
Punktes K sehr nahe horizontal, was übrigens schon daraus
folgt, dass sie ganz nahe diesem Punkte ein Minimum und
ein Maximum haben. Der geometrische Ort der Maxima und
Minima aller Isothermen (die in Fig. 1 punktirte Maximumcurve)
hat daher in K selbst ein Maximum und berührt daselbst die
kritische Isotherme.