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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

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[Gleich. 88] § 32. Ergoden.
Zeit t die Phase p q haben, durch den Ausdruck 82) gegeben
ist, so kann man die Bedingung, dass die Zustandsvertheilung
stationär sei, dahin aussprechen, dass für beliebige Werthe
der Variabeln und für beliebige Gebiete g1 der Werth des
Ausdrucks 82) von dem Werthe der Zeit t vollkommen unab-
hängig ist, so lange das Gebiet g1 und die Werthe der
Variabeln 78) dieselben bleiben. Setzt man daher den Werth,
welchen der Ausdruck 82) einmal für die Zeit Null, das andere
Mal für eine beliebige andere Zeit t hat, untereinander gleich,
so kann durch das über das Gebiet g1 erstreckte Integrale
wegdividirt werden, und die Bedingung, dass der Zustand
stationär ist, nimmt die Form an:
86) f (p1 ... pn, q2 ... qn, t) = f (p1 ... pn, q2 ... qn, 0),
worin die Variabeln p, q beliebige, aber rechts und links die-
selben Werthe haben. Man kann sie daher auch mit den ent-
sprechenden grossen Buchstaben bezeichnen, wenn man unter
P Q wieder beliebige, aber zu beiden Seiten des Gleichheits-
zeichens gleiche Werthe versteht, so dass die Gleichung 86)
die Form annimmt:
87) f (P1 ... Pn, Q2 ... Qn, t) = f (P1 ... Pn, Q1 ... Qn, 0).

Mit Rücksicht auf die letzte Gleichung geht die Gleichung 85)
über in
P'1 f (P1, P2 ... Pn, Q2 ... Qn, t) = p'1 f (p1, p2 ... pn, q2 ... qn, t).1)
Da die Function f jetzt die Zeit nicht mehr enthält, so ist es
besser, t unter dem Functionszeichen wegzulassen und zu
schreiben:
88) P'1 f (P1, P2 ... Pn, Q2 ... Qn) = p'1 f (p1, p2 ... pn, q2 ... qn).
Hierbei sind P1, P2 ... Pm, Q2 ... Qm ganz beliebige Anfangs-
werthe; p1, p2 ... pm, q2 ... qm sind die Werthe der Coordinaten
und Momente, welche ein von diesen Anfangswerthen aus-

1) Diese oder die damit identische Gleichung 88) ist nothwendig,
damit die Vertheilung stationär sei; sie ist aber dazu auch hinreichend,
denn aus ihr und der Gleichung 85) folgt sofort wieder die Gleichung 87)
für beliebige Werthe der Variabeln P und Q oder 86) für beliebige p
und q, welche eben der mathematische Ausdruck dafür ist, dass die
Vertheilung stationär ist.

[Gleich. 88] § 32. Ergoden.
Zeit t die Phase p q haben, durch den Ausdruck 82) gegeben
ist, so kann man die Bedingung, dass die Zustandsvertheilung
stationär sei, dahin aussprechen, dass für beliebige Werthe
der Variabeln und für beliebige Gebiete g1 der Werth des
Ausdrucks 82) von dem Werthe der Zeit t vollkommen unab-
hängig ist, so lange das Gebiet g1 und die Werthe der
Variabeln 78) dieselben bleiben. Setzt man daher den Werth,
welchen der Ausdruck 82) einmal für die Zeit Null, das andere
Mal für eine beliebige andere Zeit t hat, untereinander gleich,
so kann durch das über das Gebiet g1 erstreckte Integrale
wegdividirt werden, und die Bedingung, dass der Zustand
stationär ist, nimmt die Form an:
86) f (p1pn, q2qn, t) = f (p1pn, q2qn, 0),
worin die Variabeln p, q beliebige, aber rechts und links die-
selben Werthe haben. Man kann sie daher auch mit den ent-
sprechenden grossen Buchstaben bezeichnen, wenn man unter
P Q wieder beliebige, aber zu beiden Seiten des Gleichheits-
zeichens gleiche Werthe versteht, so dass die Gleichung 86)
die Form annimmt:
87) f (P1Pn, Q2Qn, t) = f (P1Pn, Q1Qn, 0).

Mit Rücksicht auf die letzte Gleichung geht die Gleichung 85)
über in
P'1 f (P1, P2Pn, Q2Qn, t) = p'1 f (p1, p2pn, q2qn, t).1)
Da die Function f jetzt die Zeit nicht mehr enthält, so ist es
besser, t unter dem Functionszeichen wegzulassen und zu
schreiben:
88) P'1 f (P1, P2Pn, Q2Qn) = p'1 f (p1, p2pn, q2qn).
Hierbei sind P1, P2Pμ, Q2Qμ ganz beliebige Anfangs-
werthe; p1, p2pμ, q2qμ sind die Werthe der Coordinaten
und Momente, welche ein von diesen Anfangswerthen aus-

1) Diese oder die damit identische Gleichung 88) ist nothwendig,
damit die Vertheilung stationär sei; sie ist aber dazu auch hinreichend,
denn aus ihr und der Gleichung 85) folgt sofort wieder die Gleichung 87)
für beliebige Werthe der Variabeln P und Q oder 86) für beliebige p
und q, welche eben der mathematische Ausdruck dafür ist, dass die
Vertheilung stationär ist.
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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 91. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/109>, abgerufen am 17.04.2021.