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Bion, Nicolas: Dritte Eröfnung der neuen mathematischen Werkschule (Übers. Johann Gabriel Doppelmayr). Bd. 3. Nürnberg, 1765.

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Linien G a und H b fallen, so werden die zween geradwinklichte Triangel
C a G und C b H einander gleich seyn, weilen nun auch darinnen alle Win-
kel mit der Seite C H oder CG als die Eccentricität bekannt sind, so wer-
den auch aus der Trigonometrie die übrigen Seiten C a und G a bekannt
werden.

Denominatio. In diesen Triangeln seye G a oder Hb = b, C a oder
C b = c, und also a b in der Figur = 2 c, die Summe der Seiten GF + FH
oder A P = d, die unbekannte Seite = x, so ist demnach die Linie F H =
d - x: Nach der 47 Prop. des 1 Buchs Euclidis ist a F = sqrtxx - bb und
b F = 2c + sqrtxx - bb, dieweilen aber das Quadrat der Linie FH = dd -
2dx + xx, so wird die Linie b F (so man nemlich das Quadrat der Li-
nie H b von dem Quadrat FH abziehet) = sqrtdd - 2dx + xx - bb, nun
ergiebet sich eine Gleichheit zwischen zwoen Quantitäten da 2c +
sqrtxx - bb = sqrtdd - 2 dx + xx - bb nach angestellter Reduction findet man
daß xx = dx + cc - dd - {4b b c c/dd - 4cc} und also x = d + sqrtcc {4 bbcc/dd - 4cc}
so man nun d gleich supponiret, der Zahl 1, wird die Gleichung,
als x = + sqrtcc - {4 bb cc,/1 - 4 cc,} aus diesem wäre nun die Constructio Geo-
metrica gar leicht zu erlernen, wir haben aber vielmehr eine Regulam Arith-
meticam daraus zu ziehen, die in folgenden bestehet.

Man multipliciret die Linie A P, nachdeme man zuvor die Linien
aC und aG ganz accurat nach der Trigonometrie determiniret, mit sich
selbsten, quadriret gleichfalls die Seite a C und multipliciret dieses Qua-
drat mit 4, solches Quadruplum Quadrati A C, unter der Expreßion 4 a
C2, ziehet man von dem Quadrat der Linea A P ab, dann der Rest un-
ter der Bezeichnung A P2 - 4 a C2 ausgedruckt sich befindet, ferner quadri-
ret man auch die Seite aG, und notiret das Quadrat mit a G2, alsdann
stellet man diese drey Zahlen nach der Regel de Tri, sagend: Gleichwie
A P2 - 4 aC2 giebt 4 aC2, so giebet aC2 die vierte Proportionalzahl, welche
man endlich von dem Quadrat aC2 subtrahiret, aus dem Rest ziehet man
Radicem quadratam, addiret solche zu A C, der halben gegebenen Linie
von A P, so wird man die längste Seite als F H bekommen, so man nun
diese von AC subtrahiret, wird man in dem Triangel G F H die kurze G F
auch richtig erlangen. Nachdeme nun in erstbesagten Triangel alle drey
Seiten, oder in den Triangeln G F C, H F C, zwo Seiten samt einem
Winkel GCF, HCF, bekannt sind, so kann man auch endlich die übrige Win-
kel, nebst der Seite F C ausrechnen, und demnach auch den ganzen Win-
kel GFH, als die Aequationem ellipticam, finden.

Linien G a und H b fallen, ſo werden die zween geradwinklichte Triangel
C a G und C b H einander gleich ſeyn, weilen nun auch darinnen alle Win-
kel mit der Seite C H oder CG als die Eccentricität bekannt ſind, ſo wer-
den auch aus der Trigonometrie die übrigen Seiten C a und G a bekannt
werden.

Denominatio. In dieſen Triangeln ſeye G a oder Hb = b, C a oder
C b = c, und alſo a b in der Figur = 2 c, die Summe der Seiten GF + FH
oder A P = d, die unbekannte Seite = x, ſo iſt demnach die Linie F H =
d - x: Nach der 47 Prop. des 1 Buchs Euclidis iſt a F = √xx - bb und
b F = 2c + √xx - bb, dieweilen aber das Quadrat der Linie FH = dd -
2dx + xx, ſo wird die Linie b F (ſo man nemlich das Quadrat der Li-
nie H b von dem Quadrat FH abziehet) = √dd - 2dx + xx - bb, nun
ergiebet ſich eine Gleichheit zwiſchen zwoen Quantitäten da 2c +
√xx - bb = √dd - 2 dx + xx - bb nach angeſtellter Reduction findet man
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ſo man nun d gleich ſupponiret, der Zahl 1, wird die Gleichung,
als x = + √cc - {4 bb cc,/1 - 4 cc,} aus dieſem wäre nun die Conſtructio Geo-
metrica gar leicht zu erlernen, wir haben aber vielmehr eine Regulam Arith-
meticam daraus zu ziehen, die in folgenden beſtehet.

Man multipliciret die Linie A P, nachdeme man zuvor die Linien
aC und aG ganz accurat nach der Trigonometrie determiniret, mit ſich
ſelbſten, quadriret gleichfalls die Seite a C und multipliciret dieſes Qua-
drat mit 4, ſolches Quadruplum Quadrati A C, unter der Expreßion 4 a
C2, ziehet man von dem Quadrat der Linea A P ab, dann der Reſt un-
ter der Bezeichnung A P2 - 4 a C2 ausgedruckt ſich befindet, ferner quadri-
ret man auch die Seite aG, und notiret das Quadrat mit a G2, alsdann
ſtellet man dieſe drey Zahlen nach der Regel de Tri, ſagend: Gleichwie
A P2 - 4 aC2 giebt 4 aC2, ſo giebet aC2 die vierte Proportionalzahl, welche
man endlich von dem Quadrat aC2 ſubtrahiret, aus dem Reſt ziehet man
Radicem quadratam, addiret ſolche zu A C, der halben gegebenen Linie
von A P, ſo wird man die längſte Seite als F H bekommen, ſo man nun
dieſe von AC ſubtrahiret, wird man in dem Triangel G F H die kurze G F
auch richtig erlangen. Nachdeme nun in erſtbeſagten Triangel alle drey
Seiten, oder in den Triangeln G F C, H F C, zwo Seiten ſamt einem
Winkel GCF, HCF, bekannt ſind, ſo kann man auch endlich die übrige Win-
kel, nebſt der Seite F C ausrechnen, und demnach auch den ganzen Win-
kel GFH, als die Aequationem ellipticam, finden. 

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[89/0101] Linien G a und H b fallen, ſo werden die zween geradwinklichte Triangel C a G und C b H einander gleich ſeyn, weilen nun auch darinnen alle Win- kel mit der Seite C H oder CG als die Eccentricität bekannt ſind, ſo wer- den auch aus der Trigonometrie die übrigen Seiten C a und G a bekannt werden. Denominatio. In dieſen Triangeln ſeye G a oder Hb = b, C a oder C b = c, und alſo a b in der Figur = 2 c, die Summe der Seiten GF + FH oder A P = d, die unbekannte Seite = x, ſo iſt demnach die Linie F H = d - x: Nach der 47 Prop. des 1 Buchs Euclidis iſt a F = √xx - bb und b F = 2c + √xx - bb, dieweilen aber das Quadrat der Linie FH = dd - 2dx + xx, ſo wird die Linie b F (ſo man nemlich das Quadrat der Li- nie H b von dem Quadrat FH abziehet) = √dd - 2dx + xx - bb, nun ergiebet ſich eine Gleichheit zwiſchen zwoen Quantitäten da 2c + √xx - bb = √dd - 2 dx + xx - bb nach angeſtellter Reduction findet man daß xx = dx + cc - [FORMEL] dd - {4b b c c/dd - 4cc} und alſo x = [FORMEL] d + √cc {4 bbcc/dd - 4cc} ſo man nun d gleich ſupponiret, der Zahl 1, wird die Gleichung, als x = [FORMEL] + √cc - {4 bb cc,/1 - 4 cc,} aus dieſem wäre nun die Conſtructio Geo- metrica gar leicht zu erlernen, wir haben aber vielmehr eine Regulam Arith- meticam daraus zu ziehen, die in folgenden beſtehet. Man multipliciret die Linie A P, nachdeme man zuvor die Linien aC und aG ganz accurat nach der Trigonometrie determiniret, mit ſich ſelbſten, quadriret gleichfalls die Seite a C und multipliciret dieſes Qua- drat mit 4, ſolches Quadruplum Quadrati A C, unter der Expreßion 4 a C2, ziehet man von dem Quadrat der Linea A P ab, dann der Reſt un- ter der Bezeichnung A P2 - 4 a C2 ausgedruckt ſich befindet, ferner quadri- ret man auch die Seite aG, und notiret das Quadrat mit a G2, alsdann ſtellet man dieſe drey Zahlen nach der Regel de Tri, ſagend: Gleichwie A P2 - 4 aC2 giebt 4 aC2, ſo giebet aC2 die vierte Proportionalzahl, welche man endlich von dem Quadrat aC2 ſubtrahiret, aus dem Reſt ziehet man Radicem quadratam, addiret ſolche zu A C, der halben gegebenen Linie von A P, ſo wird man die längſte Seite als F H bekommen, ſo man nun dieſe von AC ſubtrahiret, wird man in dem Triangel G F H die kurze G F auch richtig erlangen. Nachdeme nun in erſtbeſagten Triangel alle drey Seiten, oder in den Triangeln G F C, H F C, zwo Seiten ſamt einem Winkel GCF, HCF, bekannt ſind, ſo kann man auch endlich die übrige Win- kel, nebſt der Seite F C ausrechnen, und demnach auch den ganzen Win- kel GFH, als die Aequationem ellipticam, finden.

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Zitationshilfe: Bion, Nicolas: Dritte Eröfnung der neuen mathematischen Werkschule (Übers. Johann Gabriel Doppelmayr). Bd. 3. Nürnberg, 1765, S. 89. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/bion_werkschule03_1765/101>, abgerufen am 17.05.2024.