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Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

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Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisen-Constructionen.
[Spaltenumbruch]
Hülfsfigur, welche die Neigungen der Polygonseiten gegen-
einander ergiebt, die variable Größe E·T als Horizontal-
zug aufträgt und die graphische Darstellung von M als
Belastungsfläche der Seilcurve ansieht. Daß dieses Verfahren
zu demselben Resultate führen muß, folgt unmittelbar aus
Gleichung 5), der man auch folgende Form
[Formel 1] geben kann, so daß im Vergleich mit dem Ausdruck 4) die
Größe E·T als Horizontalzug auftritt. Noch deutlicher
geht dies aus den zum nachfolgenden Beispiel 3) gegebenen
Erläuterungen hervor.

18) Das Seilpolygon kann angewandt werden, um den
Werth algebraischer Ausdrücke von der Form einer Momen-
tensumme
[Formel 2] auf graphischem Wege zu bestimmen. Construirt man nämlich
ein Seilpolygon aus den Verticalkräften A1, A2, A3 .....
welche in den Abscissen a1, a2, a3 auf das Seil einwirken,
so ist der Abschnitt y der letzten Polygonseite auf der Ordi-
natenachse das Maaß jener Summe; denn die Momentenglei-
chung des Seilpolygons Fig. 13 Blatt 397 in Bezug auf den
Anfangspunkt O der Coordinaten lautet
[Formel 3] Um das Product H·y leicht bilden zu können, wird in sol-
chen Fällen für den Werth von H selbstverständlich eine runde
Zahl angenommen.

19) Legt man durch drei benachbarte Polygonseiten
(Fig. 14 Blatt 397) eine gerade Linie A B so, daß
[Formel 4] wird, so findet die Beziehung statt
20) [Formel 5]
denn nach 18) ist
[Formel 6] daher
[Formel 7]

Berechnung und graphische Bestimmung der Durchbiegungen
belasteter Träger.

Bei Bestimmung von Durchbiegungen kommt es in der
Regel nur darauf an, die Abscisse und die Ordinate der
größten Einsenkung zwischen zwei Stützpunkten zu ermitteln,
während im Uebrigen die Form der Biegungscurve für den
Zweck der Aufgabe nicht von Interesse ist. Die bezeichnete
Aufgabe wird gelöst, indem man (vgl. 16) die Ordinate auf-
sucht, welche die Belastungsfläche der elastischen Linie in zwei
[Spaltenumbruch]
den Auflagerdrücken gleiche Theile zerlegt. Diese Ordinate
schneidet die elastische Linie in dem Punkte der größten Durch-
biegung, dessen Tangente also zur Verbindungslinie der beiden
Stützpunkte parallel gerichtet ist. Drückt man nun das
Gleichgewicht eines Theils der elastischen Linie links oder
rechts von jenem Punkt durch die Momentengleichung für den
Stützpunkt aus, so ist die gesuchte Durchbiegung in dieser
Gleichung die einzige Unbekannte. Nur wenn wegen unregel-
mäßiger Form der Belastungsfläche die oben angedeutete Er-
mittelung der Abscisse der größten Durchbiegung zu umständ-
lich wird, ist es vorzuziehen, das unter [Formel 8] 17 beschriebene
graphische Verfahren zur Anwendung zu bringen.

Beispiel 1. Durchbiegung eines Balkens von constantem Quer-
schnitt, welcher mit p pro Längeneinheit gleichmäßig belastet
und in seinen Endpunkten frei unterstützt ist.

Die von [Formel 9] beschriebene Belastungsfläche wird durch
eine Parabel A B C (Fig. 15 Blatt 397) dargestellt, deren
Scheitelordinate über der Balkenmitte
[Formel 10] ist. Wegen der zur Mitte symmetrischen Form der Belastungs-
fläche findet in diesem Punkte die größte Durchbiegung statt.
Auf die eine Hälfte F J (Fig. 16 Blatt 397) der elastischen Linie
wirken also folgende drei Kräfte:

1) in dem Punkte J die horizontal gerichtete Seilspannung
E gleich dem Elasticitätsmodul,

2) in dem Stützpunkt F die Seilspannung S und

3) die Belastung gleich der Fläche
[Formel 11]

Der horizontale Abstand des Schwerpunkts K dieser
Fläche von dem Auflager F beträgt 5/16 l. Die Momenten-
gleichung in Bezug auf den Punkt F ergiebt also:
[Formel 12] oder [Formel 13]

Beispiel 2. Durchbiegung eines Balkens von constantem Quer-
schnitt, welcher in seinen Endpunkten frei unterstützt und in der
Entfernung a von der Mitte mit dem Gewicht Q belastet ist.

Die Belastungsfläche bildet in diesem Falle ein Dreieck
A B C (Fig. 17 Blatt 397), dessen Höhe über dem belasteten
Punkt D
[Formel 14] ist. Der Druck der Belastungsfläche auf den Stückpunkt A
ergiebt sich aus der Momentengleichung in Bezug auf den
Punkt C
[Formel 15]

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.
[Spaltenumbruch]
Hülfsfigur, welche die Neigungen der Polygonſeiten gegen-
einander ergiebt, die variable Größe E·T als Horizontal-
zug aufträgt und die graphiſche Darſtellung von M als
Belaſtungsfläche der Seilcurve anſieht. Daß dieſes Verfahren
zu demſelben Reſultate führen muß, folgt unmittelbar aus
Gleichung 5), der man auch folgende Form
[Formel 1] geben kann, ſo daß im Vergleich mit dem Ausdruck 4) die
Größe E·T als Horizontalzug auftritt. Noch deutlicher
geht dies aus den zum nachfolgenden Beiſpiel 3) gegebenen
Erläuterungen hervor.

18) Das Seilpolygon kann angewandt werden, um den
Werth algebraiſcher Ausdrücke von der Form einer Momen-
tenſumme
[Formel 2] auf graphiſchem Wege zu beſtimmen. Conſtruirt man nämlich
ein Seilpolygon aus den Verticalkräften A1, A2, A3 .....
welche in den Abſciſſen a1, a2, a3 auf das Seil einwirken,
ſo iſt der Abſchnitt y der letzten Polygonſeite auf der Ordi-
natenachſe das Maaß jener Summe; denn die Momentenglei-
chung des Seilpolygons Fig. 13 Blatt 397 in Bezug auf den
Anfangspunkt O der Coordinaten lautet
[Formel 3] Um das Product H·y leicht bilden zu können, wird in ſol-
chen Fällen für den Werth von H ſelbſtverſtändlich eine runde
Zahl angenommen.

19) Legt man durch drei benachbarte Polygonſeiten
(Fig. 14 Blatt 397) eine gerade Linie A B ſo, daß
[Formel 4] wird, ſo findet die Beziehung ſtatt
20) [Formel 5]
denn nach 18) iſt
[Formel 6] daher
[Formel 7]

Berechnung und graphiſche Beſtimmung der Durchbiegungen
belaſteter Träger.

Bei Beſtimmung von Durchbiegungen kommt es in der
Regel nur darauf an, die Abſciſſe und die Ordinate der
größten Einſenkung zwiſchen zwei Stützpunkten zu ermitteln,
während im Uebrigen die Form der Biegungscurve für den
Zweck der Aufgabe nicht von Intereſſe iſt. Die bezeichnete
Aufgabe wird gelöſt, indem man (vgl. 16) die Ordinate auf-
ſucht, welche die Belaſtungsfläche der elaſtiſchen Linie in zwei
[Spaltenumbruch]
den Auflagerdrücken gleiche Theile zerlegt. Dieſe Ordinate
ſchneidet die elaſtiſche Linie in dem Punkte der größten Durch-
biegung, deſſen Tangente alſo zur Verbindungslinie der beiden
Stützpunkte parallel gerichtet iſt. Drückt man nun das
Gleichgewicht eines Theils der elaſtiſchen Linie links oder
rechts von jenem Punkt durch die Momentengleichung für den
Stützpunkt aus, ſo iſt die geſuchte Durchbiegung in dieſer
Gleichung die einzige Unbekannte. Nur wenn wegen unregel-
mäßiger Form der Belaſtungsfläche die oben angedeutete Er-
mittelung der Abſciſſe der größten Durchbiegung zu umſtänd-
lich wird, iſt es vorzuziehen, das unter [Formel 8] 17 beſchriebene
graphiſche Verfahren zur Anwendung zu bringen.

Beiſpiel 1. Durchbiegung eines Balkens von conſtantem Quer-
ſchnitt, welcher mit p pro Längeneinheit gleichmäßig belaſtet
und in ſeinen Endpunkten frei unterſtützt iſt.

Die von [Formel 9] beſchriebene Belaſtungsfläche wird durch
eine Parabel A B C (Fig. 15 Blatt 397) dargeſtellt, deren
Scheitelordinate über der Balkenmitte
[Formel 10] iſt. Wegen der zur Mitte ſymmetriſchen Form der Belaſtungs-
fläche findet in dieſem Punkte die größte Durchbiegung ſtatt.
Auf die eine Hälfte F J (Fig. 16 Blatt 397) der elaſtiſchen Linie
wirken alſo folgende drei Kräfte:

1) in dem Punkte J die horizontal gerichtete Seilſpannung
E gleich dem Elaſticitätsmodul,

2) in dem Stützpunkt F die Seilſpannung S und

3) die Belaſtung gleich der Fläche
[Formel 11]

Der horizontale Abſtand des Schwerpunkts K dieſer
Fläche von dem Auflager F beträgt 5/16 l. Die Momenten-
gleichung in Bezug auf den Punkt F ergiebt alſo:
[Formel 12] oder [Formel 13]

Beiſpiel 2. Durchbiegung eines Balkens von conſtantem Quer-
ſchnitt, welcher in ſeinen Endpunkten frei unterſtützt und in der
Entfernung a von der Mitte mit dem Gewicht Q belaſtet iſt.

Die Belaſtungsfläche bildet in dieſem Falle ein Dreieck
A B C (Fig. 17 Blatt 397), deſſen Höhe über dem belaſteten
Punkt D
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[Formel 15] 

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[[4]/0015] Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen. Hülfsfigur, welche die Neigungen der Polygonſeiten gegen- einander ergiebt, die variable Größe E·T als Horizontal- zug aufträgt und die graphiſche Darſtellung von M als Belaſtungsfläche der Seilcurve anſieht. Daß dieſes Verfahren zu demſelben Reſultate führen muß, folgt unmittelbar aus Gleichung 5), der man auch folgende Form [FORMEL] geben kann, ſo daß im Vergleich mit dem Ausdruck 4) die Größe E·T als Horizontalzug auftritt. Noch deutlicher geht dies aus den zum nachfolgenden Beiſpiel 3) gegebenen Erläuterungen hervor. 18) Das Seilpolygon kann angewandt werden, um den Werth algebraiſcher Ausdrücke von der Form einer Momen- tenſumme [FORMEL] auf graphiſchem Wege zu beſtimmen. Conſtruirt man nämlich ein Seilpolygon aus den Verticalkräften A1, A2, A3 ..... welche in den Abſciſſen a1, a2, a3 auf das Seil einwirken, ſo iſt der Abſchnitt y der letzten Polygonſeite auf der Ordi- natenachſe das Maaß jener Summe; denn die Momentenglei- chung des Seilpolygons Fig. 13 Blatt 397 in Bezug auf den Anfangspunkt O der Coordinaten lautet [FORMEL] Um das Product H·y leicht bilden zu können, wird in ſol- chen Fällen für den Werth von H ſelbſtverſtändlich eine runde Zahl angenommen. 19) Legt man durch drei benachbarte Polygonſeiten (Fig. 14 Blatt 397) eine gerade Linie A B ſo, daß [FORMEL] wird, ſo findet die Beziehung ſtatt 20) [FORMEL] denn nach 18) iſt [FORMEL] daher [FORMEL] Berechnung und graphiſche Beſtimmung der Durchbiegungen belaſteter Träger. Bei Beſtimmung von Durchbiegungen kommt es in der Regel nur darauf an, die Abſciſſe und die Ordinate der größten Einſenkung zwiſchen zwei Stützpunkten zu ermitteln, während im Uebrigen die Form der Biegungscurve für den Zweck der Aufgabe nicht von Intereſſe iſt. Die bezeichnete Aufgabe wird gelöſt, indem man (vgl. 16) die Ordinate auf- ſucht, welche die Belaſtungsfläche der elaſtiſchen Linie in zwei den Auflagerdrücken gleiche Theile zerlegt. Dieſe Ordinate ſchneidet die elaſtiſche Linie in dem Punkte der größten Durch- biegung, deſſen Tangente alſo zur Verbindungslinie der beiden Stützpunkte parallel gerichtet iſt. Drückt man nun das Gleichgewicht eines Theils der elaſtiſchen Linie links oder rechts von jenem Punkt durch die Momentengleichung für den Stützpunkt aus, ſo iſt die geſuchte Durchbiegung in dieſer Gleichung die einzige Unbekannte. Nur wenn wegen unregel- mäßiger Form der Belaſtungsfläche die oben angedeutete Er- mittelung der Abſciſſe der größten Durchbiegung zu umſtänd- lich wird, iſt es vorzuziehen, das unter [FORMEL] 17 beſchriebene graphiſche Verfahren zur Anwendung zu bringen. Beiſpiel 1. Durchbiegung eines Balkens von conſtantem Quer- ſchnitt, welcher mit p pro Längeneinheit gleichmäßig belaſtet und in ſeinen Endpunkten frei unterſtützt iſt. Die von [FORMEL] beſchriebene Belaſtungsfläche wird durch eine Parabel A B C (Fig. 15 Blatt 397) dargeſtellt, deren Scheitelordinate über der Balkenmitte [FORMEL] iſt. Wegen der zur Mitte ſymmetriſchen Form der Belaſtungs- fläche findet in dieſem Punkte die größte Durchbiegung ſtatt. Auf die eine Hälfte F J (Fig. 16 Blatt 397) der elaſtiſchen Linie wirken alſo folgende drei Kräfte: 1) in dem Punkte J die horizontal gerichtete Seilſpannung E gleich dem Elaſticitätsmodul, 2) in dem Stützpunkt F die Seilſpannung S und 3) die Belaſtung gleich der Fläche [FORMEL] Der horizontale Abſtand des Schwerpunkts K dieſer Fläche von dem Auflager F beträgt 5/16 l. Die Momenten- gleichung in Bezug auf den Punkt F ergiebt alſo: [FORMEL] oder [FORMEL] Beiſpiel 2. Durchbiegung eines Balkens von conſtantem Quer- ſchnitt, welcher in ſeinen Endpunkten frei unterſtützt und in der Entfernung a von der Mitte mit dem Gewicht Q belaſtet iſt. Die Belaſtungsfläche bildet in dieſem Falle ein Dreieck A B C (Fig. 17 Blatt 397), deſſen Höhe über dem belaſteten Punkt D [FORMEL] iſt. Der Druck der Belaſtungsfläche auf den Stückpunkt A ergiebt ſich aus der Momentengleichung in Bezug auf den Punkt C [FORMEL]

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Zitationshilfe: Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400, S. [4]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mohr_eisenkonstruktionen_1868/15>, abgerufen am 21.11.2024.