Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisen-Constructionen. [Spaltenumbruch]
der Momente dieser Kräfte, bezogen auf irgend einen Punkt, also auch auf den Punkt C, ist gleich Null und wenn man die Seilspannung S5 in dem Punkte. D nach horizontaler und verticaler Richtung zerlegt, so ist jene Momentensumme 13) [Formel 1] folglich 14) [Formel 2] Aus dieser Beziehung ergiebt sich, was freilich schon 15) Construirt man mit demselben Horizontalzug H 16) Fig. 11) Blatt 397 sei die Darstellung der Belastung 17) Um die elastische Linie für einen Balken von ver- Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen. [Spaltenumbruch]
der Momente dieſer Kräfte, bezogen auf irgend einen Punkt, alſo auch auf den Punkt C, iſt gleich Null und wenn man die Seilſpannung S5 in dem Punkte. D nach horizontaler und verticaler Richtung zerlegt, ſo iſt jene Momentenſumme 13) [Formel 1] folglich 14) [Formel 2] Aus dieſer Beziehung ergiebt ſich, was freilich ſchon 15) Conſtruirt man mit demſelben Horizontalzug H 16) Fig. 11) Blatt 397 ſei die Darſtellung der Belaſtung 17) Um die elaſtiſche Linie für einen Balken von ver- <TEI> <text> <body> <div n="1"> <p><pb facs="#f0014" n="[3]"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#g">Mohr</hi>, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.</fw><lb/><cb n="23"/><lb/> der Momente dieſer Kräfte, bezogen auf irgend einen Punkt,<lb/> alſo auch auf den Punkt <hi rendition="#aq">C</hi>, iſt gleich Null und wenn man<lb/> die Seilſpannung <hi rendition="#aq">S<hi rendition="#sub">5</hi></hi> in dem Punkte. <hi rendition="#aq">D</hi> nach horizontaler und<lb/> verticaler Richtung zerlegt, ſo iſt jene Momentenſumme<lb/> 13) <formula/><lb/> folglich<lb/> 14) <formula/></p><lb/> <p>Aus dieſer Beziehung ergiebt ſich, was freilich ſchon<lb/> aus der Form der Gleichung 4) hervorgeht, daß, wenn man<lb/> zwei Seilpolygone für dieſelben Verticalkräfte aber mit zwei<lb/> verſchiedenen Horizontalzügen <hi rendition="#aq">H<hi rendition="#sub">1</hi></hi> und <hi rendition="#aq">H<hi rendition="#sub">2</hi></hi> conſtruirt, die<lb/> correſpondirenden Verticalordinaten dieſer zwei Polygone, be-<lb/> zogen auf irgend eine Polygonſeite, umgekehrt zu einander<lb/> ſich verhalten wie die beiden Horizontalzüge. Dieſe Eigen-<lb/> ſchaft ermöglicht die Anwendung der graphiſchen Methode auf<lb/> die Theorie der elaſtiſchen Linie. Der Horizontalzug <hi rendition="#aq">E</hi> der<lb/> von der elaſtiſchen Linie gebildeten Seilcurve iſt in faſt allen<lb/> Fällen der Praxis ſo außerordentlich groß im Verhältniß zu<lb/> den Belaſtungen <formula/>, daß die Ordinaten der Curve verſchwin-<lb/> dend klein ausfallen würden, wenn man (vergl. Fig. 4) die<lb/> Belaſtungen und den Horizontalzug in <hi rendition="#g">demſelben</hi> Maaß-<lb/> ſtabe auftragen wollte. Vermöge jener Eigenſchaft der Seil-<lb/> polygone und Seilcurven kann man aber den Horizontalzug<lb/> und die Belaſtungen nach <hi rendition="#g">zwei verſchiedenen</hi> Maaßſtäben<lb/> auftragen und braucht alsdann nur die auf eine Tangente oder<lb/> Sehne bezogenen verticalen Ordinaten der Curve in dem Ver-<lb/> hältniß jener zwei Maaßſtäbe zu verjüngen, um die wirklichen<lb/> Ordinatenwerthe zu erhalten. Wenn es ſich darum handelt,<lb/> die Größen von Durchbiegungen aus der Zeichnung zu ent-<lb/> nehmen, ſo iſt es in der Regel am zweckmäßigſten, das Ver-<lb/> hältniß des Maaßſtabes des Horizontalzugs <hi rendition="#aq">E</hi> zu dem Maaß-<lb/> ſtab der Belaſtungen <formula/> genau ſo groß zu wählen, wie das<lb/> Verhältniß der Abſciſſen in der Zeichnung zu den wirklichen<lb/> Abſciſſenlängen, wenn alſo z. B. die Abſciſſen in dem Maaß-<lb/> ſtabe 1:300 gezeichnet werden, die Belaſtungen <formula/> in einem<lb/> dreihundert Mal größeren Maaßſtab aufzutragen, als den Hori-<lb/> zontalzug <hi rendition="#aq">E</hi>. Da in Folge deſſen die Ordinaten des Seil-<lb/> polygons im Verhältniß zu den Abſciſſen dreihundertfach ver-<lb/> größert erſcheinen, ſo erhält man in der Zeichnung die Durch-<lb/> biegungen <hi rendition="#g">in natürlicher Größe</hi>.</p><lb/> <p>15) Conſtruirt man mit demſelben Horizontalzug <hi rendition="#aq">H</hi><lb/> ein Seilpolygon (Fig. 8) für die Belaſtungen <hi rendition="#aq">P<hi rendition="#sub">1</hi>, P<hi rendition="#sub">2</hi>, P<hi rendition="#sub">3</hi></hi><lb/> nebſt den zugehörigen Auflagerdrücken <hi rendition="#aq">Q<hi rendition="#sub">1</hi></hi> und <hi rendition="#aq">Q<hi rendition="#sub">2</hi></hi>, ein zweites<lb/> Seilpolygon (Fig. 9) unter ſonſt gleichen Umſtänden mit<lb/> Hinzunahme einer vierten Belaſtung <hi rendition="#aq">P<hi rendition="#sub">4</hi></hi> und ein drittes Poly-<lb/> gon (Fig. 10) nur für die Belaſtung <hi rendition="#aq">P<hi rendition="#sub">4</hi></hi> und bezeichnet man<lb/><cb n="24"/><lb/> die Verticalordinaten dieſer drei Polygone in Bezug auf die<lb/> Verbindungslinien der Auflager mit <hi rendition="#aq">y<hi rendition="#sub">1</hi>, y<hi rendition="#sub">2</hi></hi> und <hi rendition="#aq">y<hi rendition="#sub">3</hi></hi>, ſo iſt<lb/> für jede Abſciſſe<lb/><formula/> Denn das von der Ordinate <hi rendition="#aq">y<hi rendition="#sub">2</hi></hi> gemeſſene Biegungsmoment<lb/> der vier Belaſtungen <hi rendition="#aq">P<hi rendition="#sub">1</hi>, P<hi rendition="#sub">2</hi>, P<hi rendition="#sub">3</hi>, P<hi rendition="#sub">4</hi></hi> iſt gleich der Summe<lb/> der beiden Biegungsmomente, welche von <hi rendition="#aq">P<hi rendition="#sub">1</hi>, P<hi rendition="#sub">2</hi>, P<hi rendition="#sub">3</hi></hi> und von<lb/><hi rendition="#aq">P<hi rendition="#sub">4</hi></hi> erzeugt, und durch <hi rendition="#aq">y<hi rendition="#sub">1</hi></hi> und <hi rendition="#aq">y<hi rendition="#sub">3</hi></hi> dargeſtellt werden. 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Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.
der Momente dieſer Kräfte, bezogen auf irgend einen Punkt,
alſo auch auf den Punkt C, iſt gleich Null und wenn man
die Seilſpannung S5 in dem Punkte. D nach horizontaler und
verticaler Richtung zerlegt, ſo iſt jene Momentenſumme
13) [FORMEL]
folglich
14) [FORMEL]
Aus dieſer Beziehung ergiebt ſich, was freilich ſchon
aus der Form der Gleichung 4) hervorgeht, daß, wenn man
zwei Seilpolygone für dieſelben Verticalkräfte aber mit zwei
verſchiedenen Horizontalzügen H1 und H2 conſtruirt, die
correſpondirenden Verticalordinaten dieſer zwei Polygone, be-
zogen auf irgend eine Polygonſeite, umgekehrt zu einander
ſich verhalten wie die beiden Horizontalzüge. Dieſe Eigen-
ſchaft ermöglicht die Anwendung der graphiſchen Methode auf
die Theorie der elaſtiſchen Linie. Der Horizontalzug E der
von der elaſtiſchen Linie gebildeten Seilcurve iſt in faſt allen
Fällen der Praxis ſo außerordentlich groß im Verhältniß zu
den Belaſtungen [FORMEL], daß die Ordinaten der Curve verſchwin-
dend klein ausfallen würden, wenn man (vergl. Fig. 4) die
Belaſtungen und den Horizontalzug in demſelben Maaß-
ſtabe auftragen wollte. Vermöge jener Eigenſchaft der Seil-
polygone und Seilcurven kann man aber den Horizontalzug
und die Belaſtungen nach zwei verſchiedenen Maaßſtäben
auftragen und braucht alsdann nur die auf eine Tangente oder
Sehne bezogenen verticalen Ordinaten der Curve in dem Ver-
hältniß jener zwei Maaßſtäbe zu verjüngen, um die wirklichen
Ordinatenwerthe zu erhalten. Wenn es ſich darum handelt,
die Größen von Durchbiegungen aus der Zeichnung zu ent-
nehmen, ſo iſt es in der Regel am zweckmäßigſten, das Ver-
hältniß des Maaßſtabes des Horizontalzugs E zu dem Maaß-
ſtab der Belaſtungen [FORMEL] genau ſo groß zu wählen, wie das
Verhältniß der Abſciſſen in der Zeichnung zu den wirklichen
Abſciſſenlängen, wenn alſo z. B. die Abſciſſen in dem Maaß-
ſtabe 1:300 gezeichnet werden, die Belaſtungen [FORMEL] in einem
dreihundert Mal größeren Maaßſtab aufzutragen, als den Hori-
zontalzug E. Da in Folge deſſen die Ordinaten des Seil-
polygons im Verhältniß zu den Abſciſſen dreihundertfach ver-
größert erſcheinen, ſo erhält man in der Zeichnung die Durch-
biegungen in natürlicher Größe.
15) Conſtruirt man mit demſelben Horizontalzug H
ein Seilpolygon (Fig. 8) für die Belaſtungen P1, P2, P3
nebſt den zugehörigen Auflagerdrücken Q1 und Q2, ein zweites
Seilpolygon (Fig. 9) unter ſonſt gleichen Umſtänden mit
Hinzunahme einer vierten Belaſtung P4 und ein drittes Poly-
gon (Fig. 10) nur für die Belaſtung P4 und bezeichnet man
die Verticalordinaten dieſer drei Polygone in Bezug auf die
Verbindungslinien der Auflager mit y1, y2 und y3, ſo iſt
für jede Abſciſſe
[FORMEL] Denn das von der Ordinate y2 gemeſſene Biegungsmoment
der vier Belaſtungen P1, P2, P3, P4 iſt gleich der Summe
der beiden Biegungsmomente, welche von P1, P2, P3 und von
P4 erzeugt, und durch y1 und y3 dargeſtellt werden. Hieraus
folgt, daß die Zunabme der Durchbiegung eines belaſteten
Trägers in Folge einer neu hinzukommenden Belaſtung in
irgend einem Punkte gleich iſt derjenigen Durchbiegung, welche
der gewichtsloſe Träger allein unter Einwirkung jener Be-
laſtung in dem betrachteten Punkte annehmen würde.
16) Fig. 11) Blatt 397 ſei die Darſtellung der Belaſtung
eines Seils in der Art, daß die Belaſtung pro Längeneinheit
der horizontalen Abſciſſenachſe in jedem Punkte durch die
Ordinate der Curve A1 A2 A3 A4 gemeſſen wird. Die
Fläche A1 A2 A3 A4, welche die Belaſtungsfläche genannt
wird, iſt durch Ordinaten A2 A2, A3 A3 in beliebige Theile
zerlegt, und in den Schwerpunkten dieſer Flächentheile ſind
Verticalkräfte P1, P2, P3 angebracht, deren Größen dem Inhalt
der betreffenden Flächen entſprechen. Conſtruirt man nun aus
dem Horizontalzug H und jenen Einzelkräften ein Seil-
polygon a1 a2 a3 a4 (Fig. 12), ſo berührt dieſes Polygon
die Seilcurve, welche der in Fig. 11) dargeſtellten Belaſtung
entſpricht, in den Verticalen der Theilpunkte A1, A2, A3 und
A4. Denn in dieſen Punkten ſtimmen ſowohl die Momenten-
gleichungen, wie auch die verticalen Seitenkräfte der Seil-
ſpannungen für das Seilpolygon und für die Seilcurve mit
einander überein. Durch entſprechende Theilung der Be-
laſtungsfläche kann man ſonach eine beliebig große Anzahl
von Punkten der Seilcurve feſtlegen. Bezeichnet man mit
Q1 und Q2 die Drücke der Belaſtungsfläche auf die beiden
Auflager A1 und A4 und theilt man die Belaſtungsfläche durch
die Ordinate C D ſo, daß
[FORMEL] und
[FORMEL] wird, ſo liegt die größte Ordinate c d der Seilcurve in der
Verticalen der Ordinate C D, weil die Seilcurve in dem
Punkte d zur Verbindungslinie a1 a4 der beiden Auflager
parallel gerichtet iſt.
17) Um die elaſtiſche Linie für einen Balken von ver-
änderlichem Querſchnitt zu conſtruiren, kann man die graphi-
ſche Darſtellung der Größe [FORMEL] ausführen, dieſe Belaſtungs-
fläche durch Ordinaten zerlegen, die Flächentheile durch Einzel-
kräfte erſetzen und aus dieſen ein Seilpolygon mit dem con-
ſtanten Horizontalzug E darſtellen. In den meiſten Fällen
gelangt man jedoch einfacher zu Ziele, wenn man in der
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Zitationshilfe: | Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400, S. [3]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mohr_eisenkonstruktionen_1868/14>, abgerufen am 15.08.2024. |