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Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900.

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D. Hilbert,
der Gestalt
(1) [Formel 1]
bez.
(1*) [Formel 2]
wo die unteren Indices in leichtverständlicher Schreibweise die
partiellen Ableitungen nach x, y, p, yx bedeuten. Hieraus leuchtet
die Richtigkeit der behaupteten Beziehung ein.

Die vorhin aufgestellte und soeben bewiesene enge Beziehung
zwischen der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung
(1) und der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*)
ist, wie mir scheint, für die Variationsrechnung von grundlegen-
der Bedeutung. Denn wegen der Unabhängigkeit des Integrales
J* vom Integrationswege folgt nunmehr
(3) [Formel 3]
wenn wir das Integral linker Hand auf irgend einem Wege y und
das Integral rechter Hand auf einer Integralcurve y der Diffe-
rentialgleichung
[Formel 4] genommen denken. Mit Hülfe der Gleichung (3) gelangen wir zu
der Weierstrass'schen Formel
(4) [Formel 5]
wo E den von den 4 Argumenten yx, p, y, x abhängigen Weier-
strass'schen Ausdruck
[Formel 6] bezeichnet. Da es hiernach lediglich darauf ankommt, die in Rede
stehende Integralcurve y in der xy-Ebene auf eindeutige und ste-
tige Weise mit Werten einer entsprechenden Integralfunktion
p (x, y) zu umgeben, so führen die eben angedeuteten Entwicke-
lungen unmittelbar -- ohne Heranziehung der zweiten Variation
sondern allein durch Anwendung des Polarenprocesses auf die Dif-
ferentialgleichung (1) -- zur Aufstellung der Jacobi'schen Be-
dingung und zur Beantwortung der Frage, inwiefern diese Ja-
cobi'sche Bedingung im Verein mit der Weierstrass'schen
Bedingung E > 0 für das Eintreten eines Minimums notwendig
und hinreichend ist.

D. Hilbert,
der Gestalt
(1) [Formel 1]
bez.
(1*) [Formel 2]
wo die unteren Indices in leichtverständlicher Schreibweise die
partiellen Ableitungen nach x, y, p, yx bedeuten. Hieraus leuchtet
die Richtigkeit der behaupteten Beziehung ein.

Die vorhin aufgestellte und soeben bewiesene enge Beziehung
zwischen der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung
(1) und der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*)
ist, wie mir scheint, für die Variationsrechnung von grundlegen-
der Bedeutung. Denn wegen der Unabhängigkeit des Integrales
J* vom Integrationswege folgt nunmehr
(3) [Formel 3]
wenn wir das Integral linker Hand auf irgend einem Wege y und
das Integral rechter Hand auf einer Integralcurve y̅ der Diffe-
rentialgleichung
[Formel 4] genommen denken. Mit Hülfe der Gleichung (3) gelangen wir zu
der Weierstrass’schen Formel
(4) [Formel 5]
wo E den von den 4 Argumenten yx, p, y, x abhängigen Weier-
strass’schen Ausdruck
[Formel 6] bezeichnet. Da es hiernach lediglich darauf ankommt, die in Rede
stehende Integralcurve y̅ in der xy-Ebene auf eindeutige und ste-
tige Weise mit Werten einer entsprechenden Integralfunktion
p (x, y) zu umgeben, so führen die eben angedeuteten Entwicke-
lungen unmittelbar — ohne Heranziehung der zweiten Variation
sondern allein durch Anwendung des Polarenprocesses auf die Dif-
ferentialgleichung (1) — zur Aufstellung der Jacobi’schen Be-
dingung und zur Beantwortung der Frage, inwiefern diese Ja-
cobi’sche Bedingung im Verein mit der Weierstrass’schen
Bedingung E > 0 für das Eintreten eines Minimums notwendig
und hinreichend ist.

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[294/0050] D. Hilbert, der Gestalt (1) [FORMEL] bez. (1*) [FORMEL] wo die unteren Indices in leichtverständlicher Schreibweise die partiellen Ableitungen nach x, y, p, yx bedeuten. Hieraus leuchtet die Richtigkeit der behaupteten Beziehung ein. Die vorhin aufgestellte und soeben bewiesene enge Beziehung zwischen der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) und der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*) ist, wie mir scheint, für die Variationsrechnung von grundlegen- der Bedeutung. Denn wegen der Unabhängigkeit des Integrales J* vom Integrationswege folgt nunmehr (3) [FORMEL] wenn wir das Integral linker Hand auf irgend einem Wege y und das Integral rechter Hand auf einer Integralcurve y̅ der Diffe- rentialgleichung [FORMEL] genommen denken. Mit Hülfe der Gleichung (3) gelangen wir zu der Weierstrass’schen Formel (4) [FORMEL] wo E den von den 4 Argumenten yx, p, y, x abhängigen Weier- strass’schen Ausdruck [FORMEL] bezeichnet. Da es hiernach lediglich darauf ankommt, die in Rede stehende Integralcurve y̅ in der xy-Ebene auf eindeutige und ste- tige Weise mit Werten einer entsprechenden Integralfunktion p (x, y) zu umgeben, so führen die eben angedeuteten Entwicke- lungen unmittelbar — ohne Heranziehung der zweiten Variation sondern allein durch Anwendung des Polarenprocesses auf die Dif- ferentialgleichung (1) — zur Aufstellung der Jacobi’schen Be- dingung und zur Beantwortung der Frage, inwiefern diese Ja- cobi’sche Bedingung im Verein mit der Weierstrass’schen Bedingung E > 0 für das Eintreten eines Minimums notwendig und hinreichend ist.

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Zitationshilfe: Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900, S. 294. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/hilbert_mathematische_1900/50>, abgerufen am 26.04.2024.