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Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900.

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mathematische Probleme.
[Formel 1] d. h. wir erhalten für die Funktion p der beiden Veränderlichen
x, y die partielle Differentialgleichung erster Ordnung
(1*) [Formel 2]
Die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) und
die ebengefundene partielle Differentialgleichung (1*) stehen zu
einander in engster Beziehung. Diese Beziehung wird uns un-
mittelbar deutlich durch die folgende einfache Umformung:
[Formel 3] [Formel 4] [Formel 5]

Wir entnehmen nämlich hieraus folgende Thatsachen: wenn
wir uns irgend eine einfache Schaar von Integralcurven der
gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) verschaffen
und dann eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung
(2) yx = p (x, y)
bilden, die diese Integralcurven ebenfalls als Lösungen zuläßt, so
ist stets die Funktion p (x, y) ein Integral der partiellen Diffe-
rentialgleichung erster Ordnung (1*); und umgekehrt, wenn p (x, y)
irgend eine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster
Ordnung (1*) bedeutet, so sind die sämtlichen nicht singulären In-
tegrale der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung (2)
zugleich Integrale der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1);
oder kurz ausgedrückt: wenn yx = p (x, y) eine Integralgleichung
erster Ordnung der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) ist,
so stellt p (x, y) ein Integral der partiellen Differentialgleichung
(1*) dar und umgekehrt; die Integralcurven der gewöhnlichen
Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) sind also zugleich die
Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung erster Ord-
nung (1*).

In dem vorliegenden Falle finden wir das nämliche Resultat
auch mittelst einer einfachen Rechnung; diese liefert uns näm-
lich die in Rede stehenden Differentialgleichungen (1) bez. (1*) in

mathematische Probleme.
[Formel 1] d. h. wir erhalten für die Funktion p der beiden Veränderlichen
x, y die partielle Differentialgleichung erster Ordnung
(1*) [Formel 2]
Die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) und
die ebengefundene partielle Differentialgleichung (1*) stehen zu
einander in engster Beziehung. Diese Beziehung wird uns un-
mittelbar deutlich durch die folgende einfache Umformung:
[Formel 3] [Formel 4] [Formel 5]

Wir entnehmen nämlich hieraus folgende Thatsachen: wenn
wir uns irgend eine einfache Schaar von Integralcurven der
gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) verschaffen
und dann eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung
(2) yx = p (x, y)
bilden, die diese Integralcurven ebenfalls als Lösungen zuläßt, so
ist stets die Funktion p (x, y) ein Integral der partiellen Diffe-
rentialgleichung erster Ordnung (1*); und umgekehrt, wenn p (x, y)
irgend eine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster
Ordnung (1*) bedeutet, so sind die sämtlichen nicht singulären In-
tegrale der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung (2)
zugleich Integrale der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1);
oder kurz ausgedrückt: wenn yx = p (x, y) eine Integralgleichung
erster Ordnung der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) ist,
so stellt p (x, y) ein Integral der partiellen Differentialgleichung
(1*) dar und umgekehrt; die Integralcurven der gewöhnlichen
Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) sind also zugleich die
Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung erster Ord-
nung (1*).

In dem vorliegenden Falle finden wir das nämliche Resultat
auch mittelst einer einfachen Rechnung; diese liefert uns näm-
lich die in Rede stehenden Differentialgleichungen (1) bez. (1*) in

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[293/0049] mathematische Probleme. [FORMEL] d. h. wir erhalten für die Funktion p der beiden Veränderlichen x, y die partielle Differentialgleichung erster Ordnung (1*) [FORMEL] Die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) und die ebengefundene partielle Differentialgleichung (1*) stehen zu einander in engster Beziehung. Diese Beziehung wird uns un- mittelbar deutlich durch die folgende einfache Umformung: [FORMEL] [FORMEL] [FORMEL] Wir entnehmen nämlich hieraus folgende Thatsachen: wenn wir uns irgend eine einfache Schaar von Integralcurven der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) verschaffen und dann eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung (2) yx = p (x, y) bilden, die diese Integralcurven ebenfalls als Lösungen zuläßt, so ist stets die Funktion p (x, y) ein Integral der partiellen Diffe- rentialgleichung erster Ordnung (1*); und umgekehrt, wenn p (x, y) irgend eine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*) bedeutet, so sind die sämtlichen nicht singulären In- tegrale der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung (2) zugleich Integrale der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1); oder kurz ausgedrückt: wenn yx = p (x, y) eine Integralgleichung erster Ordnung der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) ist, so stellt p (x, y) ein Integral der partiellen Differentialgleichung (1*) dar und umgekehrt; die Integralcurven der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) sind also zugleich die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung erster Ord- nung (1*). In dem vorliegenden Falle finden wir das nämliche Resultat auch mittelst einer einfachen Rechnung; diese liefert uns näm- lich die in Rede stehenden Differentialgleichungen (1) bez. (1*) in

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Zitationshilfe: Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900, S. 293. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/hilbert_mathematische_1900/49>, abgerufen am 19.04.2024.