Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Am schnellsten ändert die Curve ihre Natur dicht an der Oeffnung. Zwischen
κ͵ = 0 und κ͵ = sin 1⁰ kann man folgende annähernd richtige Gleichung brauchen:
$0 = \log\left(\frac{4}{\chi_\prime}\right) - 1 + \operatorname{tang}\theta(\tfrac{3}{2}\pi + \theta)-\frac{\pi}{4\sqrt{\chi_\prime}\sin(\tfrac{1}{4}\pi+\tfrac{1}{2}\theta)}$.
Wenn κ͵ sehr klein wird, verschwindet log κ͵ gegen $\frac{1}{\sqrt{\chi_\prime}}$ und tang ϑ muſs
sehr groſs, ϑ nahe gleich ½π werden, dann ist
$0 = \operatorname{tang}\theta - \frac{1}{8\sqrt{\chi_\prime}}$,
oder $\frac{\rho-R}{x} = \frac{\sqrt{2R}}{8\sqrt[4]{(\rho-R)^2+x^2}}$,
oder, da x auch sehr klein gegen ϱ — R werden muſs,
$(\rho-R)^3 = \tfrac{1}{32}Rx^2$.
Aus dieser letzten Gleichung folgt, daſs die Wandfläche die verlängerte Ebene
der Oeffnung an deren Rande tangirt und hier einen unendlich kleinen Krüm-
mungshalbmesser hat.

§. 10.

Das verallgemeinerte Theorem von Green liefert uns auch einige all-
gemeine Gesetze der Schallbewegung für solche Hohlkörper, deren sämmt-
liche Dimensionen verschwindend klein gegen die Wellenlänge sind, und die
mit einer oder mehreren Oeffnungen versehen sind, deren Flächeninhalt sehr
klein gegen die ganze Oberfläche des Hohlraumes ist. Da solche Hohlkörper
mit kleinen Oeffnungen beim Anblasen oder durch Resonanz sehr tiefe Töne
geben, so ist die erstere Bedingung für diese ihre tiefsten Töne immer erfüllt.

Wenn Ψ das Geschwindigkeitspotential im Innern des überall begrenz-
ten Raumes S darstellt, der keine tönenden Punkte enthalten soll, und der
Punkt α, β, γ, von welchem ab die Entfernung r gerechnet wird, innerhalb
des Raumes S liegt, so ist nach (7^b.)
$\int\frac{\sin kr}{r}\frac{d\Psi}{dn}d\omega = \int\Psi\frac{d}{dn}\left(\frac{\sin kr}{r}\right)d\omega$.
Wenn nun alle Dimensionen des Raumes S gegen die Wellenlänge ver-
schwindend klein sind, so können wir kr gegen 1 vernachlässigen, so oft r,
wie hier der Fall ist, die Entfernung zweier Punkte, die innerhalb S gelegen
sind, bezeichnet. Wir setzen also
$\frac{\sin kr}{r} = k - \frac{k^3r^2}{2.3}$.