Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

In der That sind dann auch alle diese Functionen von einer solchen Form,
daſs sich ihr Werth in der Nähe der Mündung nicht ändert dadurch, daſs man
k = 0 setzt. Die Bedingung (18^d.) ergiebt, daſs die Röhrenwand eine zu allen
Flächen, deren Gleichung Ψ_i = Const. ist, orthogonale Rotationsfläche sein muſs,
oder wenn wir die Gleichung der Röhrenwand (und überhaupt der Strömungs-
curven) ausdrücken durch
$\rho\chi = \operatorname{Const.}$,
so muſs sein:
(22^a.) $\frac{d\Psi_i}{dx}\frac{d(\rho\chi)}{dx} + \frac{d\Psi_i}{d\rho}\frac{d(\rho\chi)}{d\rho} = 0$.

Zu bemerken ist noch, daſs man, um die Form der Function Φ
festzustellen, die Gröſse des Radius des cylindrischen Theiles der Röhre R₁
bestimmen muſs, weil von dessen Gröſse die in der Summe vorkommenden
Werthe von m abhängen. Um P_i und P_l zu finden, muſs wiederum die
Gröſse des Radius der Oeffnung R festgestellt sein, und schlieſslich, wenn
man die Röhrenform aus der Gleichung $\frac{d\Psi_i}{dn} = 0$ bestimmt, wird die Stromes-
curve, welche von dem Rande der Oeffnung ausgeht, nicht nothwendig in
einen Cylinder vom Radius R₁ übergehen. Um dies nun zu bewirken, muſs
man eine der Constanten von Φ durch die oben gefundene Gleichung
(12^b.) $AQ = -2\pi M$
bestimmen, worin in unserem Falle Q der Querschnitt der Röhre
$Q = \pi R^2_1$,
$M = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega = \int(i + l)d\omega$.
Daraus folgt:
(22^b.) $AR^2_1 = -2\int(i+l)d\omega$.
Wenn R und R₁ gegeben sind, giebt diese Gleichung eine Bedingung, welche
durch die Coefficienten des Ausdrucks für Φ in (22.) erfüllt werden muſs,
so daſs einer von ihnen durch die anderen bestimmt werden kann.

§. 9.

Wir wollen endlich noch die Röhrenformen berechnen, welche den
einfachsten Annahmen über die Function Φ entsprechen. Setzen wir
(23.) $\Phi = \frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx$,