Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. von -- x übergeht inerhellt daraus, dass Pi und Pl in einer gegen die Oeffnung der Röhre grossen Entfernung unendlich klein werden, Ph aber wirklich in jene Form übergeht. Da ferner in der Fläche der Oeffnung (21b.) wird (21e.) Da ferner an der Fläche der Oeffnung und auf Seite der positiven x auf Seite der negativen aber so ist (21f.) Somit sind die gestellten Bedingungen (18a.), (18b.) und (18c.) erfüllt. Die Form der Röhrenwand wird endlich durch die Gleichung gegeben: Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. von — x übergeht inerhellt daraus, daſs Pi und Pl in einer gegen die Oeffnung der Röhre groſsen Entfernung unendlich klein werden, Φ aber wirklich in jene Form übergeht. Da ferner in der Fläche der Oeffnung (21b.) wird (21e.) Da ferner an der Fläche der Oeffnung und auf Seite der positiven x auf Seite der negativen aber so ist (21f.) Somit sind die gestellten Bedingungen (18a.), (18b.) und (18c.) erfüllt. Die Form der Röhrenwand wird endlich durch die Gleichung gegeben: <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0065" n="55"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i"><hi rendition="#g">Helmholtz</hi>, über Luftschwingungen in offenen Röhren.</hi></fw><lb/> von — <hi rendition="#i">x</hi> übergeht in<lb/><formula notation="TeX">\Psi_i = \frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx</formula>,<lb/> erhellt daraus, daſs <hi rendition="#i"><hi rendition="#b">P</hi><hi rendition="#sub">i</hi></hi> und <hi rendition="#i"><hi rendition="#b">P</hi><hi rendition="#sub">l</hi></hi> in einer gegen die Oeffnung der Röhre groſsen<lb/> Entfernung unendlich klein werden, Φ aber wirklich in jene Form übergeht.<lb/> Da ferner in der Fläche der Oeffnung<lb/> (21<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\overline{P_l} = \tfrac{1}{2}\overline{\Phi}</formula>,<lb/> wird<lb/> (21<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">e</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\overline{\Psi'} = \overline{\Psi_i} = \overline{P_i} + \overline{P_l}</formula>.<lb/> Da ferner an der Fläche der Oeffnung<lb/><formula notation="TeX">\frac{dP_i}{dn} = -2\pi i = \tfrac{1}{2}\frac{d\overline{\Phi}}{dx}</formula><lb/> und auf Seite der positiven <hi rendition="#i">x</hi><lb/><formula notation="TeX">\frac{dP}{dn} = \frac{d\overline{P}}{dx}</formula>,<lb/> auf Seite der negativen aber<lb/><formula notation="TeX">\frac{dP}{dn} = -\frac{d\overline{P}}{dx}</formula>.<lb/> so ist<lb/> (21<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">f</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\frac{d\overline{\Psi'}}{dx} = \frac{d\overline{\Psi_i}}{dx} = \frac{dP_i}{dn} + \frac{dP_l}{dn} = -2\pi(i+l)</formula>.<lb/> Somit sind die gestellten Bedingungen (18<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">a</hi></hi>.), (18<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) und (18<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">c</hi></hi>.) erfüllt.</p><lb/> <p>Die Form der Röhrenwand wird endlich durch die Gleichung gegeben:<lb/> (18<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">d</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\frac{d\Psi_i}{dn} = 0</formula>.<lb/> Da wir die Bedingung gemacht haben, daſs, wenn <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">r</hi></hi> eine innerhalb des nicht<lb/> cylindrischen Theiles der Röhre liegende Entfernung ist, <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">k</hi></hi><hi rendition="#sup">2</hi><hi rendition="#b"><hi rendition="#i">r</hi></hi><hi rendition="#sup">2</hi> gegen 1 zu ver-<lb/> nachlässigen sei, können wir entsprechend der zur Gleichung (7<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">d</hi></hi>.) gemachten<lb/> Bemerkung in dieser Gleichung der Röhrenwand <hi rendition="#i">k</hi> = 0 setzen, werden dann<lb/> aber natürlich auch die Aufgabe nur für solche Werthe von <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">k</hi></hi> als gelöst be-<lb/> trachten dürfen, für welche diese Bedingung erfüllt ist. Dann ist also für<lb/> diesen Zweck in der Nähe der Röhrenmündung zu setzen statt (19<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.):<lb/> (22.) <formula notation="TeX">\Phi = Ax + B + \sum\left\{E_me^{mx}U_{(m_\rho)}\right\}</formula>,<lb/> (20<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">a</hi></hi>.) <formula notation="TeX">P_i = \int\frac{id\omega}{r}</formula>, <formula notation="TeX">P_l = \int\frac{ld\omega}{r}</formula>,<lb/> (21<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">a</hi></hi>.), (21<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) <formula notation="TeX">i = -\frac{1}{4\pi}\frac{d\overline{\Phi}}{dx}</formula>, <formula notation="TeX">\overline{P_l} = \tfrac{1}{2}\overline{\Phi}</formula>,<lb/> (21<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">d</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\Psi_i = \Phi + P_i - P_l</formula>.<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [55/0065]
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
von — x übergeht in
[FORMEL],
erhellt daraus, daſs Pi und Pl in einer gegen die Oeffnung der Röhre groſsen
Entfernung unendlich klein werden, Φ aber wirklich in jene Form übergeht.
Da ferner in der Fläche der Oeffnung
(21b.) [FORMEL],
wird
(21e.) [FORMEL].
Da ferner an der Fläche der Oeffnung
[FORMEL]
und auf Seite der positiven x
[FORMEL],
auf Seite der negativen aber
[FORMEL].
so ist
(21f.) [FORMEL].
Somit sind die gestellten Bedingungen (18a.), (18b.) und (18c.) erfüllt.
Die Form der Röhrenwand wird endlich durch die Gleichung gegeben:
(18d.) [FORMEL].
Da wir die Bedingung gemacht haben, daſs, wenn r eine innerhalb des nicht
cylindrischen Theiles der Röhre liegende Entfernung ist, k2r2 gegen 1 zu ver-
nachlässigen sei, können wir entsprechend der zur Gleichung (7d.) gemachten
Bemerkung in dieser Gleichung der Röhrenwand k = 0 setzen, werden dann
aber natürlich auch die Aufgabe nur für solche Werthe von k als gelöst be-
trachten dürfen, für welche diese Bedingung erfüllt ist. Dann ist also für
diesen Zweck in der Nähe der Röhrenmündung zu setzen statt (19b.):
(22.) [FORMEL],
(20a.) [FORMEL], [FORMEL],
(21a.), (21b.) [FORMEL], [FORMEL],
(21d.) [FORMEL].
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Zitationshilfe: | Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 55. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/65>, abgerufen am 25.07.2024. |