Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

von — x übergeht in
$\Psi_i = \frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx$,
erhellt daraus, daſs P_i und P_l in einer gegen die Oeffnung der Röhre groſsen
Entfernung unendlich klein werden, Φ aber wirklich in jene Form übergeht.
Da ferner in der Fläche der Oeffnung
(21^b.) $\overline{P_l} = \tfrac{1}{2}\overline{\Phi}$,
wird
(21^e.) $\overline{\Psi'} = \overline{\Psi_i} = \overline{P_i} + \overline{P_l}$.
Da ferner an der Fläche der Oeffnung
$\frac{dP_i}{dn} = -2\pi i = \tfrac{1}{2}\frac{d\overline{\Phi}}{dx}$
und auf Seite der positiven x
$\frac{dP}{dn} = \frac{d\overline{P}}{dx}$,
auf Seite der negativen aber
$\frac{dP}{dn} = -\frac{d\overline{P}}{dx}$.
so ist
(21^f.) $\frac{d\overline{\Psi'}}{dx} = \frac{d\overline{\Psi_i}}{dx} = \frac{dP_i}{dn} + \frac{dP_l}{dn} = -2\pi(i+l)$.
Somit sind die gestellten Bedingungen (18^a.), (18^b.) und (18^c.) erfüllt.

Die Form der Röhrenwand wird endlich durch die Gleichung gegeben:
(18^d.) $\frac{d\Psi_i}{dn} = 0$.
Da wir die Bedingung gemacht haben, daſs, wenn r eine innerhalb des nicht
cylindrischen Theiles der Röhre liegende Entfernung ist, k²r² gegen 1 zu ver-
nachlässigen sei, können wir entsprechend der zur Gleichung (7^d.) gemachten
Bemerkung in dieser Gleichung der Röhrenwand k = 0 setzen, werden dann
aber natürlich auch die Aufgabe nur für solche Werthe von k als gelöst be-
trachten dürfen, für welche diese Bedingung erfüllt ist. Dann ist also für
diesen Zweck in der Nähe der Röhrenmündung zu setzen statt (19^b.):
(22.) $\Phi = Ax + B + \sum\left\{E_me^{mx}U_{(m_\rho)}\right\}$,
(20^a.) $P_i = \int\frac{id\omega}{r}$, $P_l = \int\frac{ld\omega}{r}$,
(21^a.), (21^b.) $i = -\frac{1}{4\pi}\frac{d\overline{\Phi}}{dx}$, $\overline{P_l} = \tfrac{1}{2}\overline{\Phi}$,
(21^d.) $\Psi_i = \Phi + P_i - P_l$.