Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Zunächst werden wir uns mit der Integration dieser Differentialglei-
chungen zu beschäftigen haben. Aus ihrer Ableitung geht hervor, daſs q'
und q″ Functionen der Coordinaten sind, welche sich nur an solchen Stellen
des Raumes von 0 unterscheiden, wo veränderliche Kräfte auf die Luftmasse
einwirken und Schallschwingungen erregen. In allen anderen Theilen der
Luftmasse ist q = 0, und es sind daher die Functionen Ψ der Bedingung un-
terworfen
(3^b.) $0 = k^2\Psi + \frac{d^2\Psi}{dx^2} + \frac{d^2\Psi}{dy^2} + \frac{d^2\Psi}{dz^2}$.

Ich werde im Folgenden den immer wiederkehrenden Ausdruck
$\frac{d^2\Phi}{dx^2} + \frac{d^2\Phi}{dy^2} + \frac{d^2\Phi}{dz^2}$
nach dem Vorgang von Green mit ∇ _x Φ, oder wo es unzweideutig ist, mit
∇Φ bezeichnen.

§. 2.

Wir beginnen mit der Integration der einfacheren Gleichung
(3^b.) $0 = k^2\Psi + \nabla_x\Psi$.

Ein bekanntes particulares Integral derselben ist
(4.) $\Psi = \frac{A\cos (kr+g)}{r}$,
wenn wir mit A und g Constanten bezeichnen, mit r aber die Entfernung
des Punktes x, y, z von einem festen Punkte α, β, γ, also
$r^2 = (x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 + (z-\gamma)^2$.

Es ist nämlich
(4^a.) $\frac{d\Psi}{dx} = -\frac{A(x-\alpha)}{r^3}[\cos(kr+g)+kr\sin(kr+g)]$,

(4^b.) $\frac{d^2\Psi}{dx^2} = -A\left[\frac{1}{r^3}-\frac{3(x-\alpha)^2}{r^5}\right][\cos(kr+g)+kr\sin(kr+g)]-\frac{Ak^2(x-\alpha)^2}{r^3}\cos(kr+g)$,
$\frac{d^2\Psi}{dy^2} = -A\left[\frac{1}{r^3}-\frac{3(y-\beta)^2}{r^5}\right][\cos(kr+g)+kr\sin(kr+g)]-\frac{Ak^2(y-\beta)^2}{r^3}\cos(kr+g)$,
$\frac{d^2\Psi}{dz^2} = -A\left[\frac{1}{r^3}-\frac{3(z-\gamma)^2}{r^5}\right][\cos(kr+g)+kr\sin(kr+g)]-\frac{Ak^2(z-\gamma)^2}{r^3}\cos(kr+g)$.