Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Wenn man die drei Gleichungen (4^b.) addirt, so erhält man:
$\nabla_x\Psi = -Ak^2\frac{\cos(kr+g)}{r} = -k^2\Psi$,
vorausgesetzt, daſs nicht r = 0 und dabei die Werthe von $\frac{d^2\Psi}{dx^2}$, $\frac{d^2\Psi}{dy^2}$,
$\frac{d^2\Psi}{dz^2}$ und Ψ unendlich werden. Mit Ausnahme des Punktes α, β, γ ist also
dann die Diffentialgleichung (3^b.) mittelst des in Gleichung (4.) angenommenen
Werthes von Φ durch den ganzen unendlichen Raum erfüllt.

Indem wir in Gleichung (4.) g entweder gleich Null oder gleich — ½π
machen, erhalten wir zwei verschiedene Formen des particularen Integrals.

1) Wenn g = — ½π, wird
(4^c.) $\Psi = A\frac{\sin kr}{r}$,
und erhält für r = 0 den endlichen Werth Ak. Auch die Differentialquotien-
ten bleiben endlich, es wird nämlich für r = 0
$\frac{d^2\Psi}{dx^2} = \frac{d^2\Psi}{dy^2} = \frac{d^2\Psi}{dz^2} = -\frac{1}{3}Ak^3$,
wie man leicht sieht, wenn man cos kr und sin kr nach Potenzen der ver-
schwindenden Gröſse r entwickelt. Daraus ergiebt sich für r = 0
$\nabla_x\Psi + k^2\Psi = 0$.

Die Function $\Psi = A\frac{\sin kr}{r}$ ist also ein solches particulares Integral der Glei-
chung (3^b.), welches im ganzen Raume und auch im Punkte α, β γ gültig ist.

2) Wenn wir g = 0 setzen, wird
(4^d.) $\Psi = A\frac{\cos kr}{r}$
und für r = 0 unendlich groſs, ebenso wie seine Differentialquotienten. Die
Gleichung (3^b.) wird also im ganzen Raume erfüllt, mit Ausnahme des Punk-
tes α, β, γ.

Daraus ergiebt sich ferner leicht, daſs wenn wir setzen:
(4^e.) $\Psi = \Sigma_{\alpha,\beta,\gamma}\left[A_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{\sin kr}{r}\right]$,
wo bei den einzelnen Gliedern der Summe die Werthe von α, β, γ und A
verschieden sind, die Gleichung (3^b.) erfüllt ist im ganzen Raume, ohne Aus-
nahme der Punkte α, β, γ.