Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

In dem Folgenden nehmen wir an, daſs die Geschwindigkeiten und Aenderun-
gen der Dichtigkeit verschwindend klein seien. Setzen wir
$h = h_0(1 + \mathfrak{h})$,
so betrachten wir also P, h, sämmtliche Differentialquotienten von h, P und Φ
als unendlich kleine Gröſsen, und vernachlässigen ihre höheren Potenzen. Dann
werden die beiden Gleichungen (1^d.) und (1^e.), indem man $b^2vh_0^{v-1}=a^2$ setzt,
(1^f.) $P - a^2\mathfrak{h} = \frac{d\Phi}{dt}$,
(1^g.) $0 = \frac{d\mathfrak{h}}{dt} + \frac{d^2\Phi}{dx^2} + \frac{d^2\Phi}{dy^2} + \frac{d^2\Phi}{dz^2}$.
Indem man die erste Gleichung nach t differentiirt, kann man h aus beiden
eliminiren ^*) und erhält
(2.) $0 = \frac{dP}{dt}-\frac{d^2\Phi}{dt^2} + a^2\left[\frac{d^2\Phi}{dx^2} + \frac{d^2\Phi}{dy^2} + \frac{d^2\Phi}{dz^2}\right]$.

Wir wollen im Folgenden nur Fälle behandeln, wo wir es mit einem
einzigen gleichmäſsig anhaltenden Tone von n Schwingungen in der Zeitein-
heit zu thun haben, und also Φ von der Form ist:
(2^a.) $\Phi = \Psi'\cos (2\pi nt) + \Psi''\sin (2\pi nt)$,
wo Ψ' und Ψ″ Functionen von x, y, z sind. Dabei kann die Gleichung (2.)
nur bestehen, wenn auch P von der Form ist:
(2^b.) $\frac{n}{2a^2}P = -q''\cos (2\pi nt) + q'\sin (2\pi nt)$.

Es zerfällt dann die Gleichung (2.) in die folgenden beiden:

(3.)$0 = 4\pi q' + k^2\Psi' + \frac{d^2\Psi'}{dx^2} + \frac{d^2\Psi'}{dy^2} + \frac{d^2\Psi'}{dz^2}$,$0 = 4\pi q'' + k^2\Psi'' + \frac{d^2\Psi''}{dx^2} + \frac{d^2\Psi''}{dy^2} + \frac{d^2\Psi''}{dz^2}$,

wo
(3^a.) $k = \frac{2\pi n}{a} = \frac{2\pi}{\lambda}$,
und λ die Wellenlänge ist.

*) Ich bemerke hier noch, daſs diese Elimination von h auch an den unverkürzten
Gleichungen (1^d.) und (1^e.) vollzogen werden kann, und daſs man die Eliminationsglei-
chung, welche von der dritten Dimension in Bezug auf Φ und seine Differentialquotienten
ist, ebenfalls mit Hülfe der hier folgenden Theoreme durch eine nach Sinus und Cosinus
der Zeit fortlaufende Reihe integriren kann, deren Glieder von n^ter Dimension der kleinen
Gröſsen den Combinationstönen n^ter Ordnung der primär angegebenen Töne entsprechen.