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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Druck schief übereinander gestellter Balken.
§. 364.

Wir haben die vorigen §§. der Anwendung gewidmet, und wollen itzt zu den
theoretischen Betrachtungen wieder zurückkehren. Der Deutlichkeit halber werden
wir im Verfolg der weitern Betrachtung alle Balken bloss durch ihre Mittellinie vor-
stellen.

Der §. 352 lehrte uns, dass ein schiefgestellter schwerer Balken A B Fig. 15 anFig.
15.
Tab.
17.
seinem obern Ende den wagrechten Druck A a = H = [Formel 1] , und an
seinem untern Ende nebst demselben wagrechten Drucke B b = H = [Formel 2]
noch den lothrechten Druck A, der dem ganzen Gewichte des Körpers gleicht, äus-
sere. Diese beiden Kräfte müssen, wenn der Balken in seiner Lage verharren soll,
gestützt werden.

Soll diess durch einen zweiten Balken B C, dessen Gewicht B ist, geschehen, so
wird der Körper B C in seiner schiefen Stellung nach dem bekannten Satze §. 351 an
seinen beiden Endpunkten B und C den lothrechten Druck 1/2 B äussern.

Stellt B q den von A B herrührenden vertikalen Druck A und q r den neuen durch
den Körper B C hinzugekommenen vertikalen Druck 1/2 B vor, so haben wir durch die
Stütze B C in B die Kraft B q + q r = B r = A + 1/2 B nach lothrechter Richtung
und die Kraft B b = H = [Formel 3] nach wagrechter Richtung zu stützen.

Aus diesen beiden ist die zusammengesetzte mittlere Kraft und Richtung die Dia-
gonale B b' des Kräftenparallelogramms b B r b'. Stellen wir sonach den neuen Balken
B C in die Richtung dieser mittlern Kraft B b', so fällt die Richtung des ganzen
Druckes in die Mitte seiner Länge B C, und die Kraft B b' hat kein Vermögen den
Körper nach irgend einer Seite zu verschieben oder um den Punkt C zu drehen; er
wird also in der angewiesenen Lage verbleiben, wenn nur noch der Punkt C hinläng-
lich befestiget wird. Betrachten wir in dem Punkte C zuerst den schiefen Druck
C c' = B b' und zerlegen diesen durch das Parallelogramm c C s c' in den wagrechten
C c und den lothrechten C s, so zeigt die Fig. 15 deutlich, dass die Dreiecke B b' r
und C c' s kongruent sind, also auch C c = b' r = B b und C s = B r ist. Es ist
aber B b = H, und B r = A + 1/2 B, also auch C c = H und C s = A + 1/2 B. Zu dem
lothrechten fortgepflanzten Druck A + 1/2 B in C kommt noch 1/2 B das halbe eigene
Gewicht des Körpers B C hinzu, und der gesammte lothrechte Druck ist also
A + 1/2 B + 1/2 B = A + B, oder gleich der Summe der Gewichte der beiden über-
einander gestellten Balken.

Auf solche Art sehen wir deutlich, dass, wenn zwei Balken so zusammengestellt
werden, dass der Druck von den Punkten A, B und C durch die Mitte der Balken
A B und B C fortgeleitet wird, am untern Ende bei C sich eine senkrechte Kraft äus-
sere, welche den Gewichten der beiden Balken A B und B C gleich ist, und dass hiezu
noch eine horizontale Kraft C c kommt, welche eben so gross als die Horizontale in A ist.

Die wechselseitige Stellung der Balken A B und B C wird auf folgende Art be-
stimmt: den Winkel, den der obere Balken A B mit der Horizontalen B e macht, haben

Druck schief übereinander gestellter Balken.
§. 364.

Wir haben die vorigen §§. der Anwendung gewidmet, und wollen itzt zu den
theoretischen Betrachtungen wieder zurückkehren. Der Deutlichkeit halber werden
wir im Verfolg der weitern Betrachtung alle Balken bloss durch ihre Mittellinie vor-
stellen.

Der §. 352 lehrte uns, dass ein schiefgestellter schwerer Balken A B Fig. 15 anFig.
15.
Tab.
17.
seinem obern Ende den wagrechten Druck A a = H = [Formel 1] , und an
seinem untern Ende nebst demselben wagrechten Drucke B b = H = [Formel 2]
noch den lothrechten Druck A, der dem ganzen Gewichte des Körpers gleicht, äus-
sere. Diese beiden Kräfte müssen, wenn der Balken in seiner Lage verharren soll,
gestützt werden.

Soll diess durch einen zweiten Balken B C, dessen Gewicht B ist, geschehen, so
wird der Körper B C in seiner schiefen Stellung nach dem bekannten Satze §. 351 an
seinen beiden Endpunkten B und C den lothrechten Druck ½ B äussern.

Stellt B q den von A B herrührenden vertikalen Druck A und q r den neuen durch
den Körper B C hinzugekommenen vertikalen Druck ½ B vor, so haben wir durch die
Stütze B C in B die Kraft B q + q r = B r = A + ½ B nach lothrechter Richtung
und die Kraft B b = H = [Formel 3] nach wagrechter Richtung zu stützen.

Aus diesen beiden ist die zusammengesetzte mittlere Kraft und Richtung die Dia-
gonale B b' des Kräftenparallelogramms b B r b'. Stellen wir sonach den neuen Balken
B C in die Richtung dieser mittlern Kraft B b', so fällt die Richtung des ganzen
Druckes in die Mitte seiner Länge B C, und die Kraft B b' hat kein Vermögen den
Körper nach irgend einer Seite zu verschieben oder um den Punkt C zu drehen; er
wird also in der angewiesenen Lage verbleiben, wenn nur noch der Punkt C hinläng-
lich befestiget wird. Betrachten wir in dem Punkte C zuerst den schiefen Druck
C c' = B b' und zerlegen diesen durch das Parallelogramm c C s c' in den wagrechten
C c und den lothrechten C s, so zeigt die Fig. 15 deutlich, dass die Dreiecke B b' r
und C c' s kongruent sind, also auch C c = b' r = B b und C s = B r ist. Es ist
aber B b = H, und B r = A + ½ B, also auch C c = H und C s = A + ½ B. Zu dem
lothrechten fortgepflanzten Druck A + ½ B in C kommt noch ½ B das halbe eigene
Gewicht des Körpers B C hinzu, und der gesammte lothrechte Druck ist also
A + ½ B + ½ B = A + B, oder gleich der Summe der Gewichte der beiden über-
einander gestellten Balken.

Auf solche Art sehen wir deutlich, dass, wenn zwei Balken so zusammengestellt
werden, dass der Druck von den Punkten A, B und C durch die Mitte der Balken
A B und B C fortgeleitet wird, am untern Ende bei C sich eine senkrechte Kraft äus-
sere, welche den Gewichten der beiden Balken A B und B C gleich ist, und dass hiezu
noch eine horizontale Kraft C c kommt, welche eben so gross als die Horizontale in A ist.

Die wechselseitige Stellung der Balken A B und B C wird auf folgende Art be-
stimmt: den Winkel, den der obere Balken A B mit der Horizontalen B e macht, haben

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[399/0429] Druck schief übereinander gestellter Balken. §. 364. Wir haben die vorigen §§. der Anwendung gewidmet, und wollen itzt zu den theoretischen Betrachtungen wieder zurückkehren. Der Deutlichkeit halber werden wir im Verfolg der weitern Betrachtung alle Balken bloss durch ihre Mittellinie vor- stellen. Der §. 352 lehrte uns, dass ein schiefgestellter schwerer Balken A B Fig. 15 an seinem obern Ende den wagrechten Druck A a = H = [FORMEL], und an seinem untern Ende nebst demselben wagrechten Drucke B b = H = [FORMEL] noch den lothrechten Druck A, der dem ganzen Gewichte des Körpers gleicht, äus- sere. Diese beiden Kräfte müssen, wenn der Balken in seiner Lage verharren soll, gestützt werden. Fig. 15. Tab. 17. Soll diess durch einen zweiten Balken B C, dessen Gewicht B ist, geschehen, so wird der Körper B C in seiner schiefen Stellung nach dem bekannten Satze §. 351 an seinen beiden Endpunkten B und C den lothrechten Druck ½ B äussern. Stellt B q den von A B herrührenden vertikalen Druck A und q r den neuen durch den Körper B C hinzugekommenen vertikalen Druck ½ B vor, so haben wir durch die Stütze B C in B die Kraft B q + q r = B r = A + ½ B nach lothrechter Richtung und die Kraft B b = H = [FORMEL] nach wagrechter Richtung zu stützen. Aus diesen beiden ist die zusammengesetzte mittlere Kraft und Richtung die Dia- gonale B b' des Kräftenparallelogramms b B r b'. Stellen wir sonach den neuen Balken B C in die Richtung dieser mittlern Kraft B b', so fällt die Richtung des ganzen Druckes in die Mitte seiner Länge B C, und die Kraft B b' hat kein Vermögen den Körper nach irgend einer Seite zu verschieben oder um den Punkt C zu drehen; er wird also in der angewiesenen Lage verbleiben, wenn nur noch der Punkt C hinläng- lich befestiget wird. Betrachten wir in dem Punkte C zuerst den schiefen Druck C c' = B b' und zerlegen diesen durch das Parallelogramm c C s c' in den wagrechten C c und den lothrechten C s, so zeigt die Fig. 15 deutlich, dass die Dreiecke B b' r und C c' s kongruent sind, also auch C c = b' r = B b und C s = B r ist. Es ist aber B b = H, und B r = A + ½ B, also auch C c = H und C s = A + ½ B. Zu dem lothrechten fortgepflanzten Druck A + ½ B in C kommt noch ½ B das halbe eigene Gewicht des Körpers B C hinzu, und der gesammte lothrechte Druck ist also A + ½ B + ½ B = A + B, oder gleich der Summe der Gewichte der beiden über- einander gestellten Balken. Auf solche Art sehen wir deutlich, dass, wenn zwei Balken so zusammengestellt werden, dass der Druck von den Punkten A, B und C durch die Mitte der Balken A B und B C fortgeleitet wird, am untern Ende bei C sich eine senkrechte Kraft äus- sere, welche den Gewichten der beiden Balken A B und B C gleich ist, und dass hiezu noch eine horizontale Kraft C c kommt, welche eben so gross als die Horizontale in A ist. Die wechselseitige Stellung der Balken A B und B C wird auf folgende Art be- stimmt: den Winkel, den der obere Balken A B mit der Horizontalen B e macht, haben

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 399. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/429>, abgerufen am 18.11.2024.