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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Relative Festigkeit der Körper.
fläche, welche der Baum dem Winde darbiethet, im Schwerpunkte p dieser Fläche
wirkend annehmen. Verlängert man nun die Seiten A a und B b des Kegels A a b B bis zu
ihrem Durchschnittspunkte q, so wird der in p wirkende Wind nach dem obigen Satze
den Stamm in einem Punkte o brechen, wo o p = [Formel 1] ist.

Fig.
16.
Tab.
15.

Nadelholzbäume, deren Stämme sehr nahe die Gestalt eines Kegels haben, bre-
chen daher in der Gegend der tiefsten Aeste, immer auf einer grössern Höhe über dem
Boden. Laubholzbäume dagegen, deren Stämme sich mehr der cylindrischen
Form nähern und bei welchen folglich der, durch die Verlängerung der Seiten sich er-
gebende Punkt q von p weiter entfernt liegt, brechen tiefer an der Wurzel oder werden
durch den Wind sehr häufig sammt der Wurzel aus der Erde herausgehoben.

Bei anfmerksamer Beobachtung solcher Windbrüche wird man das Gesagte immer
bestätigt finden, wenn der Stamm des Baumes in allen Theilen gleich gesundes Holz ent-
hält; eine Ausnahme hievon wird man nur dann bemerken, wenn der Baum durch ei-
nen krankhaften Zustand in irgend einem andern Punkte der Höhe eine geschwächte Stel-
le hatte.

§. 310.

Bei dem Maschinenwesen tritt manchmal der Fall ein, dass ein Balken oder Längen-
träger auf zwei Unterlagen frei aufliegt, und über denselben bestimmte Lasten der gan-
zen Länge nach fortrücken; diess findet z. B. bei den Schienen der Eisenbahnen, bei
Brücken u. dgl. statt. Sind nun diese Längenträger aus einem kostspieligen Materiale,
z. B. aus Guss- oder gewalztem Eisen hergestellt, so kann man bei derselben Solidität
an Material und daher auch an Kosten sparen, wenn man ihnen von dem schwächsten
Punkte in der Mitte an gegen beide Unterlagspunkte nach und nach eine geringere Höhe
gibt, und die letztere zugleich so bestimmt, dass der Träger in jedem Quer-
schnitte eine gleiche Tragkraft erhält.

Fig.
17.

Es sey Fig. 17, A C B m der Längendurchschnitt eines solchen Trägers, welcher an
beiden Enden A und B unterstützt ist; auf der Entfernung C O = x von der Mitte C be-
finde sich die Last Q, so beträgt das Tragungsvermögen dieses Körpers in dem Punkte O,
wie nach §. 291 bekannt ist, [Formel 2] . Setzen wir nun bei dem zu bestimmen-
den Körper die Breite B und vermöge unserer Voraussetzung das Tragungsvermögen Q
unveränderlich, seine mit der Entfernung x = C O veränderliche Höhe aber y = O n,
so gibt vorstehende Gleichung die veränderliche Höhe [Formel 3] (I).

Da diese Gleichung für jeden Werth von x statt findet, so gilt sie auch für die Mit-
te C, wo x = 0 ist, nennen wir daher die Höhe des Körpers in der Mitte C m = f, so
ist, wenn diese Werthe in I substituirt werden [Formel 4] (II).

Wird die Gleichung I durch II dividirt, so ist [Formel 5] oder
[Formel 6] (III.)

Relative Festigkeit der Körper.
fläche, welche der Baum dem Winde darbiethet, im Schwerpunkte p dieser Fläche
wirkend annehmen. Verlängert man nun die Seiten A a und B b des Kegels A a b B bis zu
ihrem Durchschnittspunkte q, so wird der in p wirkende Wind nach dem obigen Satze
den Stamm in einem Punkte o brechen, wo o p = [Formel 1] ist.

Fig.
16.
Tab.
15.

Nadelholzbäume, deren Stämme sehr nahe die Gestalt eines Kegels haben, bre-
chen daher in der Gegend der tiefsten Aeste, immer auf einer grössern Höhe über dem
Boden. Laubholzbäume dagegen, deren Stämme sich mehr der cylindrischen
Form nähern und bei welchen folglich der, durch die Verlängerung der Seiten sich er-
gebende Punkt q von p weiter entfernt liegt, brechen tiefer an der Wurzel oder werden
durch den Wind sehr häufig sammt der Wurzel aus der Erde herausgehoben.

Bei anfmerksamer Beobachtung solcher Windbrüche wird man das Gesagte immer
bestätigt finden, wenn der Stamm des Baumes in allen Theilen gleich gesundes Holz ent-
hält; eine Ausnahme hievon wird man nur dann bemerken, wenn der Baum durch ei-
nen krankhaften Zustand in irgend einem andern Punkte der Höhe eine geschwächte Stel-
le hatte.

§. 310.

Bei dem Maschinenwesen tritt manchmal der Fall ein, dass ein Balken oder Längen-
träger auf zwei Unterlagen frei aufliegt, und über denselben bestimmte Lasten der gan-
zen Länge nach fortrücken; diess findet z. B. bei den Schienen der Eisenbahnen, bei
Brücken u. dgl. statt. Sind nun diese Längenträger aus einem kostspieligen Materiale,
z. B. aus Guss- oder gewalztem Eisen hergestellt, so kann man bei derselben Solidität
an Material und daher auch an Kosten sparen, wenn man ihnen von dem schwächsten
Punkte in der Mitte an gegen beide Unterlagspunkte nach und nach eine geringere Höhe
gibt, und die letztere zugleich so bestimmt, dass der Träger in jedem Quer-
schnitte eine gleiche Tragkraft erhält.

Fig.
17.

Es sey Fig. 17, A C B m der Längendurchschnitt eines solchen Trägers, welcher an
beiden Enden A und B unterstützt ist; auf der Entfernung C O = x von der Mitte C be-
finde sich die Last Q, so beträgt das Tragungsvermögen dieses Körpers in dem Punkte O,
wie nach §. 291 bekannt ist, [Formel 2] . Setzen wir nun bei dem zu bestimmen-
den Körper die Breite B und vermöge unserer Voraussetzung das Tragungsvermögen Q
unveränderlich, seine mit der Entfernung x = C O veränderliche Höhe aber y = O n,
so gibt vorstehende Gleichung die veränderliche Höhe [Formel 3] (I).

Da diese Gleichung für jeden Werth von x statt findet, so gilt sie auch für die Mit-
te C, wo x = 0 ist, nennen wir daher die Höhe des Körpers in der Mitte C m = f, so
ist, wenn diese Werthe in I substituirt werden [Formel 4] (II).

Wird die Gleichung I durch II dividirt, so ist [Formel 5] oder
[Formel 6] (III.)

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[320/0350] Relative Festigkeit der Körper. fläche, welche der Baum dem Winde darbiethet, im Schwerpunkte p dieser Fläche wirkend annehmen. Verlängert man nun die Seiten A a und B b des Kegels A a b B bis zu ihrem Durchschnittspunkte q, so wird der in p wirkende Wind nach dem obigen Satze den Stamm in einem Punkte o brechen, wo o p = [FORMEL] ist. Nadelholzbäume, deren Stämme sehr nahe die Gestalt eines Kegels haben, bre- chen daher in der Gegend der tiefsten Aeste, immer auf einer grössern Höhe über dem Boden. Laubholzbäume dagegen, deren Stämme sich mehr der cylindrischen Form nähern und bei welchen folglich der, durch die Verlängerung der Seiten sich er- gebende Punkt q von p weiter entfernt liegt, brechen tiefer an der Wurzel oder werden durch den Wind sehr häufig sammt der Wurzel aus der Erde herausgehoben. Bei anfmerksamer Beobachtung solcher Windbrüche wird man das Gesagte immer bestätigt finden, wenn der Stamm des Baumes in allen Theilen gleich gesundes Holz ent- hält; eine Ausnahme hievon wird man nur dann bemerken, wenn der Baum durch ei- nen krankhaften Zustand in irgend einem andern Punkte der Höhe eine geschwächte Stel- le hatte. §. 310. Bei dem Maschinenwesen tritt manchmal der Fall ein, dass ein Balken oder Längen- träger auf zwei Unterlagen frei aufliegt, und über denselben bestimmte Lasten der gan- zen Länge nach fortrücken; diess findet z. B. bei den Schienen der Eisenbahnen, bei Brücken u. dgl. statt. Sind nun diese Längenträger aus einem kostspieligen Materiale, z. B. aus Guss- oder gewalztem Eisen hergestellt, so kann man bei derselben Solidität an Material und daher auch an Kosten sparen, wenn man ihnen von dem schwächsten Punkte in der Mitte an gegen beide Unterlagspunkte nach und nach eine geringere Höhe gibt, und die letztere zugleich so bestimmt, dass der Träger in jedem Quer- schnitte eine gleiche Tragkraft erhält. Es sey Fig. 17, A C B m der Längendurchschnitt eines solchen Trägers, welcher an beiden Enden A und B unterstützt ist; auf der Entfernung C O = x von der Mitte C be- finde sich die Last Q, so beträgt das Tragungsvermögen dieses Körpers in dem Punkte O, wie nach §. 291 bekannt ist, [FORMEL]. Setzen wir nun bei dem zu bestimmen- den Körper die Breite B und vermöge unserer Voraussetzung das Tragungsvermögen Q unveränderlich, seine mit der Entfernung x = C O veränderliche Höhe aber y = O n, so gibt vorstehende Gleichung die veränderliche Höhe [FORMEL] (I). Da diese Gleichung für jeden Werth von x statt findet, so gilt sie auch für die Mit- te C, wo x = 0 ist, nennen wir daher die Höhe des Körpers in der Mitte C m = f, so ist, wenn diese Werthe in I substituirt werden [FORMEL] (II). Wird die Gleichung I durch II dividirt, so ist [FORMEL] oder [FORMEL] (III.)

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 320. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/350>, abgerufen am 18.11.2024.