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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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soll, kein Theil der Fläche unbelegt bleiben darf, kann offen-
bar auch so ausgedrückt werden: Bei jeder Vertheilung, wobei
ein endliches Stück der Fläche leer bleibt, erhält das Integral
integral V m d s einen Werth, der den Minimumwerth um eine endliche
Differenz übertrifft.

33.

Der eigentliche Hauptnerv der im 31 Artikel entwickelten
Beweisführung beruhet auf der Evidenz, mit welcher die Exi-
stenz eines Minimumwerths für O unmittelbar erkannt wird,
solange man sich auf die gleichartigen Vertheilungen einer ge-
gebenen Masse beschränkt. Fände eine gleiche Evidenz auch
ohne diese Beschränkung Statt, so würden die dortigen Schlüsse
ohne weiteres zu dem Resultate führen, dass es allemahl, wenn
nicht eine gleichartige, doch eine ungleichartige Vertheilung der gege-
benen Masse gibt, für welche W = V -- U in allen Punkten der
Fläche einen constanten Werth erhält, indem dann die zweite Be-
dingung (Art. 31. II) wegfällt. Allein da jene Evidenz verlo-
ren geht, sobald wir die Beschränkung auf gleichartige Verthei-
lungen fallen lassen, so sind wir genöthigt, den strengen Be-
weis jenes wichtigsten Satzes unserer ganzen Untersuchung auf
einem etwas künstlichern Wege zu suchen. Der folgende
scheint am einfachsten zum Ziele zu führen.

Wir betrachten zunächst drei verschiedene Massenverthei-
lungen, bei welchen wir anstatt der unbestimmten Zeichen für
Dichtigkeit m und Potential V folgende besondere gebrauchen:

I. m = m0, V = V0
II. m = m', V = V'
III. m = m, V = v

Die Vertheilung I ist diejenige gleichartige der positiven Masse
M, für welche integral V m d s seinen Minimumwerth erhält.

II ist die gleichartige Vertheilung derselben Masse M, für
welche integral(V -- 2e U) m d s seinen Minimumwerth erhält, wo e ei-
nen beliebigen constanten Coefficienten bedeutet.

III hängt so von I und II ab, dass m = [Formel 1] , und
ist also eine ungleichartige Vertheilung, in welcher die Ge-
sammtmasse = 0 wird.


soll, kein Theil der Fläche unbelegt bleiben darf, kann offen-
bar auch so ausgedrückt werden: Bei jeder Vertheilung, wobei
ein endliches Stück der Fläche leer bleibt, erhält das Integral
∫ V m d s einen Werth, der den Minimumwerth um eine endliche
Differenz übertrifft.

33.

Der eigentliche Hauptnerv der im 31 Artikel entwickelten
Beweisführung beruhet auf der Evidenz, mit welcher die Exi-
stenz eines Minimumwerths für Ω unmittelbar erkannt wird,
solange man sich auf die gleichartigen Vertheilungen einer ge-
gebenen Masse beschränkt. Fände eine gleiche Evidenz auch
ohne diese Beschränkung Statt, so würden die dortigen Schlüsse
ohne weiteres zu dem Resultate führen, daſs es allemahl, wenn
nicht eine gleichartige, doch eine ungleichartige Vertheilung der gege-
benen Masse gibt, für welche W = V — U in allen Punkten der
Fläche einen constanten Werth erhält, indem dann die zweite Be-
dingung (Art. 31. II) wegfällt. Allein da jene Evidenz verlo-
ren geht, sobald wir die Beschränkung auf gleichartige Verthei-
lungen fallen lassen, so sind wir genöthigt, den strengen Be-
weis jenes wichtigsten Satzes unserer ganzen Untersuchung auf
einem etwas künstlichern Wege zu suchen. Der folgende
scheint am einfachsten zum Ziele zu führen.

Wir betrachten zunächst drei verschiedene Massenverthei-
lungen, bei welchen wir anstatt der unbestimmten Zeichen für
Dichtigkeit m und Potential V folgende besondere gebrauchen:

I. m = m0, V = V0
II. m = m', V = V'
III. m = μ, V = v

Die Vertheilung I ist diejenige gleichartige der positiven Masse
M, für welche ∫ V m d s seinen Minimumwerth erhält.

II ist die gleichartige Vertheilung derselben Masse M, für
welche ∫(V — 2ε U) m d s seinen Minimumwerth erhält, wo ε ei-
nen beliebigen constanten Coefficienten bedeutet.

III hängt so von I und II ab, daſs μ = [Formel 1] , und
ist also eine ungleichartige Vertheilung, in welcher die Ge-
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[44/0049] soll, kein Theil der Fläche unbelegt bleiben darf, kann offen- bar auch so ausgedrückt werden: Bei jeder Vertheilung, wobei ein endliches Stück der Fläche leer bleibt, erhält das Integral ∫ V m d s einen Werth, der den Minimumwerth um eine endliche Differenz übertrifft. 33. Der eigentliche Hauptnerv der im 31 Artikel entwickelten Beweisführung beruhet auf der Evidenz, mit welcher die Exi- stenz eines Minimumwerths für Ω unmittelbar erkannt wird, solange man sich auf die gleichartigen Vertheilungen einer ge- gebenen Masse beschränkt. Fände eine gleiche Evidenz auch ohne diese Beschränkung Statt, so würden die dortigen Schlüsse ohne weiteres zu dem Resultate führen, daſs es allemahl, wenn nicht eine gleichartige, doch eine ungleichartige Vertheilung der gege- benen Masse gibt, für welche W = V — U in allen Punkten der Fläche einen constanten Werth erhält, indem dann die zweite Be- dingung (Art. 31. II) wegfällt. Allein da jene Evidenz verlo- ren geht, sobald wir die Beschränkung auf gleichartige Verthei- lungen fallen lassen, so sind wir genöthigt, den strengen Be- weis jenes wichtigsten Satzes unserer ganzen Untersuchung auf einem etwas künstlichern Wege zu suchen. Der folgende scheint am einfachsten zum Ziele zu führen. Wir betrachten zunächst drei verschiedene Massenverthei- lungen, bei welchen wir anstatt der unbestimmten Zeichen für Dichtigkeit m und Potential V folgende besondere gebrauchen: I. m = m0, V = V0 II. m = m', V = V' III. m = μ, V = v Die Vertheilung I ist diejenige gleichartige der positiven Masse M, für welche ∫ V m d s seinen Minimumwerth erhält. II ist die gleichartige Vertheilung derselben Masse M, für welche ∫(V — 2ε U) m d s seinen Minimumwerth erhält, wo ε ei- nen beliebigen constanten Coefficienten bedeutet. III hängt so von I und II ab, daſs μ = [FORMEL], und ist also eine ungleichartige Vertheilung, in welcher die Ge- sammtmasse = 0 wird.

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 44. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/49>, abgerufen am 22.02.2025.