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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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was immer bewirkt werden kann, wenn nur nicht das ganze
Stück P unbelegt ist.

Der Erfolg hievon wird aber sein, dass d O einen negati-
ven Werth erhält, wie man leicht sieht, wenn man diese Va-
riation in die Form 2integral(W -- A) m d s setzt.

Es erhellet hieraus, dass wenn bei einer gegebenen Ver-
theilung entweder in dem belegten Stücke der Fläche un-
gleiche Werthe von W vorkommen, oder wenn, bei Statt fin-
dender Gleichheit der Werthe in dem belegten Stücke, kleinere
in dem nichtbelegten Theile angetroffen werden, durch eine
abgeänderte Vertheilung eine Verminderung von O erreicht
werden kann, und dass folglich bei dem Minimumwerthe noth-
wendig die in obigem Lehrsatze ausgesprochenen Bedingungen
erfüllt sein müssen.

32.

Wenn wir jetzt für unsern speciellern Fall (Art. 30), wo
U = 0 ist, also W das blosse Potential der auf die Fläche
vertheilten Masse, und O das Integral integral V m d s bedeutet, mit
dem Lehrsatze des vorhergehenden Artikels den im 28 Artikel
angeführten verbinden, so folgt von selbst, dass bei dem Mini-
mumwerth von integral V m d s die Fläche gar keine unbelegte Theile
haben kann; denn sonst würde, auch wenn die ganze Fläche
eine geschlossene ist, der belegte Theil eine ungeschlossene und
hinsichtlich derselben der unbelegte Theil als dem äussern
Raume angehörig zu betrachten sein, mithin darin nach Art. 28 das
Potential einen kleinern Werth haben müssen als in der beleg-
ten Fläche, während der Lehrsatz des vorhergehenden Artikels
einen kleinern Werth ausschliesst.

Es ist also erwiesen, dass es eine gleichartige Vertheilung
einer gegebenen Masse über die ganze Fläche gibt, wobei kein
Theil leer bleibt, und woraus ein in allen Punkten der Fläche
gleiches Potential hervorgeht. Was zum vollständigen Beweise
des im 30 Artikel aufgestellten Lehrsatzes jetzt noch fehlt,
nemlich, die Nachweisung, dass es nur Eine dies leistende Ver-
theilungsart geben kann, wird weiter unten als Theil eines all-
gemeineren Lehrsatzes erscheinen.

Dass, wenn der Minimumwerth für integral V m d s Statt finden

was immer bewirkt werden kann, wenn nur nicht das ganze
Stück P unbelegt ist.

Der Erfolg hievon wird aber sein, daſs δ Ω einen negati-
ven Werth erhält, wie man leicht sieht, wenn man diese Va-
riation in die Form 2∫(W — A) μ d s setzt.

Es erhellet hieraus, daſs wenn bei einer gegebenen Ver-
theilung entweder in dem belegten Stücke der Fläche un-
gleiche Werthe von W vorkommen, oder wenn, bei Statt fin-
dender Gleichheit der Werthe in dem belegten Stücke, kleinere
in dem nichtbelegten Theile angetroffen werden, durch eine
abgeänderte Vertheilung eine Verminderung von Ω erreicht
werden kann, und daſs folglich bei dem Minimumwerthe noth-
wendig die in obigem Lehrsatze ausgesprochenen Bedingungen
erfüllt sein müssen.

32.

Wenn wir jetzt für unsern speciellern Fall (Art. 30), wo
U = 0 ist, also W das bloſse Potential der auf die Fläche
vertheilten Masse, und Ω das Integral ∫ V m d s bedeutet, mit
dem Lehrsatze des vorhergehenden Artikels den im 28 Artikel
angeführten verbinden, so folgt von selbst, daſs bei dem Mini-
mumwerth von ∫ V m d s die Fläche gar keine unbelegte Theile
haben kann; denn sonst würde, auch wenn die ganze Fläche
eine geschlossene ist, der belegte Theil eine ungeschlossene und
hinsichtlich derselben der unbelegte Theil als dem äuſsern
Raume angehörig zu betrachten sein, mithin darin nach Art. 28 das
Potential einen kleinern Werth haben müssen als in der beleg-
ten Fläche, während der Lehrsatz des vorhergehenden Artikels
einen kleinern Werth ausschlieſst.

Es ist also erwiesen, daſs es eine gleichartige Vertheilung
einer gegebenen Masse über die ganze Fläche gibt, wobei kein
Theil leer bleibt, und woraus ein in allen Punkten der Fläche
gleiches Potential hervorgeht. Was zum vollständigen Beweise
des im 30 Artikel aufgestellten Lehrsatzes jetzt noch fehlt,
nemlich, die Nachweisung, daſs es nur Eine dies leistende Ver-
theilungsart geben kann, wird weiter unten als Theil eines all-
gemeineren Lehrsatzes erscheinen.

Daſs, wenn der Minimumwerth für ∫ V m d s Statt finden

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[43/0048] was immer bewirkt werden kann, wenn nur nicht das ganze Stück P unbelegt ist. Der Erfolg hievon wird aber sein, daſs δ Ω einen negati- ven Werth erhält, wie man leicht sieht, wenn man diese Va- riation in die Form 2∫(W — A) μ d s setzt. Es erhellet hieraus, daſs wenn bei einer gegebenen Ver- theilung entweder in dem belegten Stücke der Fläche un- gleiche Werthe von W vorkommen, oder wenn, bei Statt fin- dender Gleichheit der Werthe in dem belegten Stücke, kleinere in dem nichtbelegten Theile angetroffen werden, durch eine abgeänderte Vertheilung eine Verminderung von Ω erreicht werden kann, und daſs folglich bei dem Minimumwerthe noth- wendig die in obigem Lehrsatze ausgesprochenen Bedingungen erfüllt sein müssen. 32. Wenn wir jetzt für unsern speciellern Fall (Art. 30), wo U = 0 ist, also W das bloſse Potential der auf die Fläche vertheilten Masse, und Ω das Integral ∫ V m d s bedeutet, mit dem Lehrsatze des vorhergehenden Artikels den im 28 Artikel angeführten verbinden, so folgt von selbst, daſs bei dem Mini- mumwerth von ∫ V m d s die Fläche gar keine unbelegte Theile haben kann; denn sonst würde, auch wenn die ganze Fläche eine geschlossene ist, der belegte Theil eine ungeschlossene und hinsichtlich derselben der unbelegte Theil als dem äuſsern Raume angehörig zu betrachten sein, mithin darin nach Art. 28 das Potential einen kleinern Werth haben müssen als in der beleg- ten Fläche, während der Lehrsatz des vorhergehenden Artikels einen kleinern Werth ausschlieſst. Es ist also erwiesen, daſs es eine gleichartige Vertheilung einer gegebenen Masse über die ganze Fläche gibt, wobei kein Theil leer bleibt, und woraus ein in allen Punkten der Fläche gleiches Potential hervorgeht. Was zum vollständigen Beweise des im 30 Artikel aufgestellten Lehrsatzes jetzt noch fehlt, nemlich, die Nachweisung, daſs es nur Eine dies leistende Ver- theilungsart geben kann, wird weiter unten als Theil eines all- gemeineren Lehrsatzes erscheinen. Daſs, wenn der Minimumwerth für ∫ V m d s Statt finden

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 43. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/48>, abgerufen am 22.12.2024.