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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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entspringende überall positive Potential V in jedem Punkte
der Fläche grösser sein wird, als [Formel 1] , wenn r die grösste Ent-
fernung zweier Punkte der Fläche von einander bedeutet:
diesen Werth selbst könnte das Potential nur in einem End-
punkte der Linie r haben, wenn die ganze Masse in dem an-
dern Endpunkte concentrirt wäre, ein Fall, der hier gar nicht
in Frage kommt, indem nur von stetiger Vertheilung die Rede
sein soll, wo jedem Elemente der Fläche d s nur eine unend-
lich kleine Masse m d s entspricht. Das Integral integral V m d s über
die ganze Fläche ausgedehnt, ist also jedenfalls grösser als
[Formel 2] m d s oder [Formel 3] , und so muss es nothwendig eine gleich-
artige Vertheilungsart geben, für welche jenes Integral einen
Minimumwerth hat. Es mag nun hier im Voraus als eines der
Ziele der folgenden Untersuchungen bezeichnet werden, zu be-
weisen, dass bei einer solchen Vertheilung, wo integral V m d s sei-
nen Minimumwerth erhält, das Potential V in jedem Punkte
der Fläche einerlei Werth haben wird, dass dabei keine Theile
der Fläche leer bleiben können, und dass es nur eine einzige
solche Vertheilung gibt. Der Kürze wegen wollen wir aber
die Untersuchung schon von Anfang an in einer weiter um-
fassenden Gestalt ausführen.

31.

Es bedeute U eine Grösse, die in jedem Punkte der Fläche
einen bestimmten endlichen nach der Stetigkeit sich ändernden
Werth hat. Es wird dann das Integral
[Formel 4] über die ganze Fläche ausgedehnt, zwar nach Verschiedenheit
der gleichartigen Vertheilung der Masse M, sehr ungleiche
Werthe haben können; allein offenbar muss für Eine solche
Vertheilungsart ein Minimumwerth dieses Integrals Statt finden.
Es soll nun ein Beweis gegeben werden für den

LEHRSATZ, dass bei solcher Vertheilungsart

1. die Differenz V -- U = W überall in der Fläche, wo
sie wirklich mit Theilen von M belegt ist, einen constanten
Werth haben wird;


entspringende überall positive Potential V in jedem Punkte
der Fläche gröſser sein wird, als [Formel 1] , wenn r die gröſste Ent-
fernung zweier Punkte der Fläche von einander bedeutet:
diesen Werth selbst könnte das Potential nur in einem End-
punkte der Linie r haben, wenn die ganze Masse in dem an-
dern Endpunkte concentrirt wäre, ein Fall, der hier gar nicht
in Frage kommt, indem nur von stetiger Vertheilung die Rede
sein soll, wo jedem Elemente der Fläche d s nur eine unend-
lich kleine Masse m d s entspricht. Das Integral ∫ V m d s über
die ganze Fläche ausgedehnt, ist also jedenfalls gröſser als
[Formel 2] m d s oder [Formel 3] , und so muſs es nothwendig eine gleich-
artige Vertheilungsart geben, für welche jenes Integral einen
Minimumwerth hat. Es mag nun hier im Voraus als eines der
Ziele der folgenden Untersuchungen bezeichnet werden, zu be-
weisen, daſs bei einer solchen Vertheilung, wo ∫ V m d s sei-
nen Minimumwerth erhält, das Potential V in jedem Punkte
der Fläche einerlei Werth haben wird, daſs dabei keine Theile
der Fläche leer bleiben können, und daſs es nur eine einzige
solche Vertheilung gibt. Der Kürze wegen wollen wir aber
die Untersuchung schon von Anfang an in einer weiter um-
fassenden Gestalt ausführen.

31.

Es bedeute U eine Gröſse, die in jedem Punkte der Fläche
einen bestimmten endlichen nach der Stetigkeit sich ändernden
Werth hat. Es wird dann das Integral
[Formel 4] über die ganze Fläche ausgedehnt, zwar nach Verschiedenheit
der gleichartigen Vertheilung der Masse M, sehr ungleiche
Werthe haben können; allein offenbar muſs für Eine solche
Vertheilungsart ein Minimumwerth dieses Integrals Statt finden.
Es soll nun ein Beweis gegeben werden für den

LEHRSATZ, daſs bei solcher Vertheilungsart

1. die Differenz V — U = W überall in der Fläche, wo
sie wirklich mit Theilen von M belegt ist, einen constanten
Werth haben wird;


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[41/0046] entspringende überall positive Potential V in jedem Punkte der Fläche gröſser sein wird, als [FORMEL], wenn r die gröſste Ent- fernung zweier Punkte der Fläche von einander bedeutet: diesen Werth selbst könnte das Potential nur in einem End- punkte der Linie r haben, wenn die ganze Masse in dem an- dern Endpunkte concentrirt wäre, ein Fall, der hier gar nicht in Frage kommt, indem nur von stetiger Vertheilung die Rede sein soll, wo jedem Elemente der Fläche d s nur eine unend- lich kleine Masse m d s entspricht. Das Integral ∫ V m d s über die ganze Fläche ausgedehnt, ist also jedenfalls gröſser als [FORMEL] m d s oder [FORMEL], und so muſs es nothwendig eine gleich- artige Vertheilungsart geben, für welche jenes Integral einen Minimumwerth hat. Es mag nun hier im Voraus als eines der Ziele der folgenden Untersuchungen bezeichnet werden, zu be- weisen, daſs bei einer solchen Vertheilung, wo ∫ V m d s sei- nen Minimumwerth erhält, das Potential V in jedem Punkte der Fläche einerlei Werth haben wird, daſs dabei keine Theile der Fläche leer bleiben können, und daſs es nur eine einzige solche Vertheilung gibt. Der Kürze wegen wollen wir aber die Untersuchung schon von Anfang an in einer weiter um- fassenden Gestalt ausführen. 31. Es bedeute U eine Gröſse, die in jedem Punkte der Fläche einen bestimmten endlichen nach der Stetigkeit sich ändernden Werth hat. Es wird dann das Integral [FORMEL] über die ganze Fläche ausgedehnt, zwar nach Verschiedenheit der gleichartigen Vertheilung der Masse M, sehr ungleiche Werthe haben können; allein offenbar muſs für Eine solche Vertheilungsart ein Minimumwerth dieses Integrals Statt finden. Es soll nun ein Beweis gegeben werden für den LEHRSATZ, daſs bei solcher Vertheilungsart 1. die Differenz V — U = W überall in der Fläche, wo sie wirklich mit Theilen von M belegt ist, einen constanten Werth haben wird;

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 41. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/46>, abgerufen am 22.02.2025.