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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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das obere Zeichen für positive, das untere für negative Werthe
von (t -- t0) cos A geltend, oder es hat [Formel 1] in dem Punkte P
für ein spitzes A zwei verschiedene Werthe, nemlich
X0 cos A + Y0 cos B + Z0 cos C -- 2 p k0 cos A und
X0 cos A + Y0 cos B + Z0 cos C + 2 p k0 cos A
je nachdem d t als positiv oder als negativ betrachtet wird.
Für den Fall, wo A ein rechter Winkel ist, also die gerade
Linie die Fläche nur berührt, fallen beide Ausdrücke zusam-
men, und es wird
[Formel 2]

Die bisher vorgetragenen Sätze sind zwar ihrem wesent-
lichen Inhalte nach nicht neu, durften aber des Zusammen-
hanges wegen als nothwendige Vorbereitungen zu den nachfol-
genden Untersuchungen nicht übergangen werden, in welchen
eine Reihe neuer Lehrsätze entwickelt werden wird.

19.

Es sei V das Potential eines Systems von Massen M', M'',
M''' ..., die sich in dem Punkte P', P'', P''' ... befinden;
v das Potential eines zweiten Systems von Massen m', m'', m''' ...,
die in den Punkten p', p'', p''' ... angenommen werden: ferner
seien V', V'', V''' ... die Werthe von V in den letztern
Punkten, und v', v'', v''' ... die Werthe von v in den Punkten,
P', P'', P''' ... Man hat dann die Gleichung
M' v' + M'' v'' + M''' v''' + u.s.f. = m' V' + m'' V'' + m''' V''' + u.s.f.
die auch durch SMv = SmV ausgedrückt wird, wenn unbestimmt
M jede Masse des ersten, m jede Masse des zweiten Systems
vorstellt. In der That ist sowohl SMv als SmV nichts an-
deres, als das Aggregat aller Combinationen [Formel 3] , wenn r die
gegenseitige Entfernung der Punkte bezeichnet, in welchen sich
die betreffenden Massen M, m befinden.

Befinden sich die Massen des einen Systems, oder beider,

das obere Zeichen für positive, das untere für negative Werthe
von (t — t0) cos A geltend, oder es hat [Formel 1] in dem Punkte P
für ein spitzes A zwei verschiedene Werthe, nemlich
X0 cos A + Y0 cos B + Z0 cos C — 2 π k0 cos A und
X0 cos A + Y0 cos B + Z0 cos C + 2 π k0 cos A
je nachdem d t als positiv oder als negativ betrachtet wird.
Für den Fall, wo A ein rechter Winkel ist, also die gerade
Linie die Fläche nur berührt, fallen beide Ausdrücke zusam-
men, und es wird
[Formel 2]

Die bisher vorgetragenen Sätze sind zwar ihrem wesent-
lichen Inhalte nach nicht neu, durften aber des Zusammen-
hanges wegen als nothwendige Vorbereitungen zu den nachfol-
genden Untersuchungen nicht übergangen werden, in welchen
eine Reihe neuer Lehrsätze entwickelt werden wird.

19.

Es sei V das Potential eines Systems von Massen M', M'',
M''' …, die sich in dem Punkte P', P'', P''' … befinden;
v das Potential eines zweiten Systems von Massen m', m'', m''' …,
die in den Punkten p', p'', p''' … angenommen werden: ferner
seien V', V'', V''' … die Werthe von V in den letztern
Punkten, und v', v'', v''' … die Werthe von v in den Punkten,
P', P'', P''' … Man hat dann die Gleichung
M' v' + M'' v'' + M''' v''' + u.s.f. = m' V' + m'' V'' + m''' V''' + u.s.f.
die auch durch ΣMv = ΣmV ausgedrückt wird, wenn unbestimmt
M jede Masse des ersten, m jede Masse des zweiten Systems
vorstellt. In der That ist sowohl ΣMv als ΣmV nichts an-
deres, als das Aggregat aller Combinationen [Formel 3] , wenn ρ die
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die betreffenden Massen M, m befinden.

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[28/0033] das obere Zeichen für positive, das untere für negative Werthe von (t — t0) cos A geltend, oder es hat [FORMEL] in dem Punkte P für ein spitzes A zwei verschiedene Werthe, nemlich X0 cos A + Y0 cos B + Z0 cos C — 2 π k0 cos A und X0 cos A + Y0 cos B + Z0 cos C + 2 π k0 cos A je nachdem d t als positiv oder als negativ betrachtet wird. Für den Fall, wo A ein rechter Winkel ist, also die gerade Linie die Fläche nur berührt, fallen beide Ausdrücke zusam- men, und es wird [FORMEL] Die bisher vorgetragenen Sätze sind zwar ihrem wesent- lichen Inhalte nach nicht neu, durften aber des Zusammen- hanges wegen als nothwendige Vorbereitungen zu den nachfol- genden Untersuchungen nicht übergangen werden, in welchen eine Reihe neuer Lehrsätze entwickelt werden wird. 19. Es sei V das Potential eines Systems von Massen M', M'', M''' …, die sich in dem Punkte P', P'', P''' … befinden; v das Potential eines zweiten Systems von Massen m', m'', m''' …, die in den Punkten p', p'', p''' … angenommen werden: ferner seien V', V'', V''' … die Werthe von V in den letztern Punkten, und v', v'', v''' … die Werthe von v in den Punkten, P', P'', P''' … Man hat dann die Gleichung M' v' + M'' v'' + M''' v''' + u.s.f. = m' V' + m'' V'' + m''' V''' + u.s.f. die auch durch ΣMv = ΣmV ausgedrückt wird, wenn unbestimmt M jede Masse des ersten, m jede Masse des zweiten Systems vorstellt. In der That ist sowohl ΣMv als ΣmV nichts an- deres, als das Aggregat aller Combinationen [FORMEL], wenn ρ die gegenseitige Entfernung der Punkte bezeichnet, in welchen sich die betreffenden Massen M, m befinden. Befinden sich die Massen des einen Systems, oder beider,

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 28. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/33>, abgerufen am 22.12.2024.