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Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770.

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Zweyter Abschnitt
nimmermehr aus einem Quadrat und einem dop-
pelten Quadrat bestehen können: es ist aber auch
gewis daß alle Prim-Zahlen, die in einer von den
ersten beyden Formen 8n + 1 und 8n + 3 enthalten
sind, sich allezeit in ein Quadrat und ein doppeltes
Quadrat auflösen laßen.

175.

Laßt uns auf eine gleiche Weise zu dieser allge-
meinen Formel xx + cyy fortschreiten, und sehen
was man x und y für Werthe geben muß, damit die-
se Formel Factores erhalte.

Da nun dieselbe durch dieses Product vorge-
stellet wird (x + ysqrt - c) (x - ysqrt - c), so gebe man
einem jeden dieser Factoren wiederum zwey Factores
von gleicher Art: man setze nemlich x + ysqrt - c
= (p + qsqrt - c) (r + ssqrt - c), und x - ysqrt - c
= (p - qsqrt - c) (r - ssqrt - c); und da wird unsere
Formel werden xx + cyy = (pp + cqq) (rr + css),
woraus erhellet daß die Factores wiederum von eben
der Art als die Formel selbst seyn werden, die Wer-
the aber von x und y werden sich folgender Gestalt
verhalten; x = pr +/- cqs und y = qr + ps, oder

y =

Zweyter Abſchnitt
nimmermehr aus einem Quadrat und einem dop-
pelten Quadrat beſtehen koͤnnen: es iſt aber auch
gewis daß alle Prim-Zahlen, die in einer von den
erſten beyden Formen 8n + 1 und 8n + 3 enthalten
ſind, ſich allezeit in ein Quadrat und ein doppeltes
Quadrat aufloͤſen laßen.

175.

Laßt uns auf eine gleiche Weiſe zu dieſer allge-
meinen Formel xx + cyy fortſchreiten, und ſehen
was man x und y fuͤr Werthe geben muß, damit die-
ſe Formel Factores erhalte.

Da nun dieſelbe durch dieſes Product vorge-
ſtellet wird (x + y√ - c) (x - y√ - c), ſo gebe man
einem jeden dieſer Factoren wiederum zwey Factores
von gleicher Art: man ſetze nemlich x + y√ - c
= (p + q√ - c) (r + s√ - c), und x - y√ - c
= (p - q√ - c) (r - s√ - c); und da wird unſere
Formel werden xx + cyy = (pp + cqq) (rr + css),
woraus erhellet daß die Factores wiederum von eben
der Art als die Formel ſelbſt ſeyn werden, die Wer-
the aber von x und y werden ſich folgender Geſtalt
verhalten; x = pr ± cqs und y = qr + ps, oder

y =
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[392/0394] Zweyter Abſchnitt nimmermehr aus einem Quadrat und einem dop- pelten Quadrat beſtehen koͤnnen: es iſt aber auch gewis daß alle Prim-Zahlen, die in einer von den erſten beyden Formen 8n + 1 und 8n + 3 enthalten ſind, ſich allezeit in ein Quadrat und ein doppeltes Quadrat aufloͤſen laßen. 175. Laßt uns auf eine gleiche Weiſe zu dieſer allge- meinen Formel xx + cyy fortſchreiten, und ſehen was man x und y fuͤr Werthe geben muß, damit die- ſe Formel Factores erhalte. Da nun dieſelbe durch dieſes Product vorge- ſtellet wird (x + y√ - c) (x - y√ - c), ſo gebe man einem jeden dieſer Factoren wiederum zwey Factores von gleicher Art: man ſetze nemlich x + y√ - c = (p + q√ - c) (r + s√ - c), und x - y√ - c = (p - q√ - c) (r - s√ - c); und da wird unſere Formel werden xx + cyy = (pp + cqq) (rr + css), woraus erhellet daß die Factores wiederum von eben der Art als die Formel ſelbſt ſeyn werden, die Wer- the aber von x und y werden ſich folgender Geſtalt verhalten; x = pr ± cqs und y = qr + ps, oder y =

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Zitationshilfe: Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770, S. 392. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/euler_algebra02_1770/394>, abgerufen am 20.11.2024.