när sind, und auch die Zahlen x und y keinen gemei- nen Theiler haben sollen, so können dieselben keine ra- tionale Factores haben, sondern sie müßen irrati- onal und so gar imaginär von gleicher Art seyn.
170.
Will man also daß diese Formel xx + yy zwey rationale Factores bekomme, so gebe man beyden ir- rationalen Factoren auch zwey Factores, und setze erstlich x + y sqrt - 1 = (p + q sqrt - 1) (r + s sqrt - 1), da dann weil sqrt - 1 so wohl negativ als positiv genom- men werden kann von selbsten seyn wird x - y sqrt - 1 = (p - q sqrt - 1) (r - s sqrt - 1), also daß das Pro- duct davon, das ist unsere Formel seyn wird xx + yy = (pp + qq) (rr + ss) und dieselbe folg- lich zwey rationale Factores enthält, nemlich pp + qq und rr + ss. Hier ist aber noch übrig die Werthe von x und y zu bestimmen, als welche auch rational seyn müßen.
Wann man nun jene irrationale Factores mit einander multiplicirt, so bekommt man x + y sqrt - 1 = pr - qs + ps sqrt - 1 + qr sqrt - 1, und x - y sqrt - 1 = pr - qs - qr sqrt - 1 - ps sqrt - 1: addirt man diese Formeln, so wird x = pr - qs; subtrahirt man die-
sel-
Zweyter Abſchnitt
naͤr ſind, und auch die Zahlen x und y keinen gemei- nen Theiler haben ſollen, ſo koͤnnen dieſelben keine ra- tionale Factores haben, ſondern ſie muͤßen irrati- onal und ſo gar imaginaͤr von gleicher Art ſeyn.
170.
Will man alſo daß dieſe Formel xx + yy zwey rationale Factores bekomme, ſo gebe man beyden ir- rationalen Factoren auch zwey Factores, und ſetze erſtlich x + y √ - 1 = (p + q √ - 1) (r + s √ - 1), da dann weil √ - 1 ſo wohl negativ als poſitiv genom- men werden kann von ſelbſten ſeyn wird x - y √ - 1 = (p - q √ - 1) (r - s √ - 1), alſo daß das Pro- duct davon, das iſt unſere Formel ſeyn wird xx + yy = (pp + qq) (rr + ss) und dieſelbe folg- lich zwey rationale Factores enthaͤlt, nemlich pp + qq und rr + ss. Hier iſt aber noch uͤbrig die Werthe von x und y zu beſtimmen, als welche auch rational ſeyn muͤßen.
Wann man nun jene irrationale Factores mit einander multiplicirt, ſo bekommt man x + y √ - 1 = pr - qs + ps √ - 1 + qr √ - 1, und x - y √ - 1 = pr - qs - qr √ - 1 - ps √ - 1: addirt man dieſe Formeln, ſo wird x = pr - qs; ſubtrahirt man die-
ſel-
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Zweyter Abſchnitt
naͤr ſind, und auch die Zahlen x und y keinen gemei-
nen Theiler haben ſollen, ſo koͤnnen dieſelben keine ra-
tionale Factores haben, ſondern ſie muͤßen irrati-
onal und ſo gar imaginaͤr von gleicher Art ſeyn.
170.
Will man alſo daß dieſe Formel xx + yy zwey
rationale Factores bekomme, ſo gebe man beyden ir-
rationalen Factoren auch zwey Factores, und ſetze erſtlich
x + y √ - 1 = (p + q √ - 1) (r + s √ - 1), da
dann weil √ - 1 ſo wohl negativ als poſitiv genom-
men werden kann von ſelbſten ſeyn wird x - y √ - 1
= (p - q √ - 1) (r - s √ - 1), alſo daß das Pro-
duct davon, das iſt unſere Formel ſeyn wird
xx + yy = (pp + qq) (rr + ss) und dieſelbe folg-
lich zwey rationale Factores enthaͤlt, nemlich pp + qq
und rr + ss. Hier iſt aber noch uͤbrig die Werthe von
x und y zu beſtimmen, als welche auch rational ſeyn
muͤßen.
Wann man nun jene irrationale Factores mit
einander multiplicirt, ſo bekommt man x + y √ - 1
= pr - qs + ps √ - 1 + qr √ - 1, und x - y √ - 1
= pr - qs - qr √ - 1 - ps √ - 1: addirt man dieſe
Formeln, ſo wird x = pr - qs; ſubtrahirt man die-
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Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770, S. 386. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/euler_algebra02_1770/388>, abgerufen am 21.12.2024.
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