Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.definirt werden, in denen sich das Summenzeichen auf den Index a bezieht. Es han- Zunächst erhält man für dieselben unendliche Reihen, die nach ganzen positiven Diese Reihen convergiren zwar nicht beständig, aber doch für alle Werthe von 2
definirt werden, in denen sich das Summenzeichen auf den Index a bezieht. Es han- Zunächst erhält man für dieselben unendliche Reihen, die nach ganzen positiven Diese Reihen convergiren zwar nicht beständig, aber doch für alle Werthe von 2
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0016" n="11"/> definirt werden, in denen sich das Summenzeichen auf den Index <hi rendition="#fr">a</hi> bezieht. Es han-<lb/> delt sich darum, die Functionen <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, . . . ., <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">n</hi> durch ihre Argumente in einer für<lb/> alle Werthe der letztern gültig bleibenden Form wirklich auszudrücken.</p><lb/> <p>Zunächst erhält man für dieselben unendliche Reihen, die nach ganzen positiven<lb/> Potenzen von <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, . . . ., <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">n</hi> fortschreiten, und zwar ist, wenn man durch<lb/> (<hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, … <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">n</hi>)<hi rendition="#sub"><hi rendition="#i">α</hi></hi> eine homogene Function des <hi rendition="#i">α</hi>ten Grades von <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi> . . . . bezeichnet,<lb/> 2. <formula/></p><lb/> <p>Diese Reihen convergiren zwar nicht beständig, aber doch für alle Werthe von<lb/><hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, . . . ., die ihrer absoluten Grösse nach bestimmte Grenzen nicht überschreiten.<lb/> Sodann kann man mit Hülfe des Abel’schen Theorems nachweisen, das <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, …<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">n</hi><lb/> Wurzeln ein und derselben Gleichung <hi rendition="#i">n</hi> ten Grades sind, der man die Form<lb/><hi rendition="#c">3. <formula/></hi><lb/> geben kann, wo <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, … <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">n</hi> <hi rendition="#g">eindeutige</hi> Functionen von <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, … <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">n</hi> sind, die<lb/> ganz den Charakter rationaler Functionen besitzen. In Reihen nach Potenzen von<lb/><hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … entwickelt hat <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#fr">a</hi></hi> genau dieselbe Gestalt wie die Reihe auf der rechten Seite<lb/> der Gleichung (2), woraus erhellt, dass <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#fr">a</hi></hi> eine ungrade Function von <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi> . . . . ist.<lb/> Ferner hat man<lb/><hi rendition="#c">4. <formula/></hi><lb/> Für n = 1 ergiebt sich, wenn man <hi rendition="#i">x, u, p</hi> für <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> schreibt,<lb/><hi rendition="#c"><formula/><formula/></hi> woraus <hi rendition="#et"><formula/></hi><lb/> folgt, so dass <hi rendition="#i">p</hi> = sin am <hi rendition="#i">u</hi>, oder nach <hi rendition="#g">Gudermann</hi>’s kürzerer Bezeichnung (Theorie<lb/> der Modular-Functionen) <hi rendition="#i">p</hi> = sn <hi rendition="#i">u</hi> ist. In Erweiterung dieser letztern Bezeichnung setze ich<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#fr">a</hi></hi> = sn (<hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, …, <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">n</hi>)<hi rendition="#sub"><hi rendition="#fr">a</hi></hi>,</hi><lb/> <fw place="bottom" type="sig">2</fw><lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [11/0016]
definirt werden, in denen sich das Summenzeichen auf den Index a bezieht. Es han-
delt sich darum, die Functionen x1, x2, . . . ., xn durch ihre Argumente in einer für
alle Werthe der letztern gültig bleibenden Form wirklich auszudrücken.
Zunächst erhält man für dieselben unendliche Reihen, die nach ganzen positiven
Potenzen von u1, u2, . . . ., un fortschreiten, und zwar ist, wenn man durch
(u1, u2, … un)α eine homogene Function des αten Grades von u1, u2 . . . . bezeichnet,
2. [FORMEL]
Diese Reihen convergiren zwar nicht beständig, aber doch für alle Werthe von
u1, u2, . . . ., die ihrer absoluten Grösse nach bestimmte Grenzen nicht überschreiten.
Sodann kann man mit Hülfe des Abel’schen Theorems nachweisen, das x1, x2, …xn
Wurzeln ein und derselben Gleichung n ten Grades sind, der man die Form
3. [FORMEL]
geben kann, wo p1, p2, … pn eindeutige Functionen von u1, u2, … un sind, die
ganz den Charakter rationaler Functionen besitzen. In Reihen nach Potenzen von
u1, u2 … entwickelt hat pa genau dieselbe Gestalt wie die Reihe auf der rechten Seite
der Gleichung (2), woraus erhellt, dass pa eine ungrade Function von u1, u2 . . . . ist.
Ferner hat man
4. [FORMEL]
Für n = 1 ergiebt sich, wenn man x, u, p für x1, u1, p1 schreibt,
[FORMEL] [FORMEL] woraus [FORMEL]
folgt, so dass p = sin am u, oder nach Gudermann’s kürzerer Bezeichnung (Theorie
der Modular-Functionen) p = sn u ist. In Erweiterung dieser letztern Bezeichnung setze ich
pa = sn (u1, u2, …, un)a,
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Zitationshilfe: | Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 11. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/16>, abgerufen am 08.07.2024. |