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Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

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definirt werden, in denen sich das Summenzeichen auf den Index a bezieht. Es han-
delt sich darum, die Functionen x1, x2, . . . ., xn durch ihre Argumente in einer für
alle Werthe der letztern gültig bleibenden Form wirklich auszudrücken.

Zunächst erhält man für dieselben unendliche Reihen, die nach ganzen positiven
Potenzen von u1, u2, . . . ., un fortschreiten, und zwar ist, wenn man durch
(u1, u2, ... un)a eine homogene Function des aten Grades von u1, u2 . . . . bezeichnet,
2. [Formel 1]

Diese Reihen convergiren zwar nicht beständig, aber doch für alle Werthe von
u1, u2, . . . ., die ihrer absoluten Grösse nach bestimmte Grenzen nicht überschreiten.
Sodann kann man mit Hülfe des Abel'schen Theorems nachweisen, das x1, x2, ...xn
Wurzeln ein und derselben Gleichung n ten Grades sind, der man die Form
3. [Formel 2]
geben kann, wo p1, p2, ... pn eindeutige Functionen von u1, u2, ... un sind, die
ganz den Charakter rationaler Functionen besitzen. In Reihen nach Potenzen von
u1, u2 ... entwickelt hat pa genau dieselbe Gestalt wie die Reihe auf der rechten Seite
der Gleichung (2), woraus erhellt, dass pa eine ungrade Function von u1, u2 . . . . ist.
Ferner hat man
4. [Formel 3]
Für n = 1 ergiebt sich, wenn man x, u, p für x1, u1, p1 schreibt,
[Formel 4] [Formel 5] woraus [Formel 6]
folgt, so dass p = sin am u, oder nach Gudermann's kürzerer Bezeichnung (Theorie
der Modular-Functionen) p = sn u ist. In Erweiterung dieser letztern Bezeichnung setze ich
pa = sn (u1, u2, ..., un)a,

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definirt werden, in denen sich das Summenzeichen auf den Index a bezieht. Es han-
delt sich darum, die Functionen x1, x2, . . . ., xn durch ihre Argumente in einer für
alle Werthe der letztern gültig bleibenden Form wirklich auszudrücken.

Zunächst erhält man für dieselben unendliche Reihen, die nach ganzen positiven
Potenzen von u1, u2, . . . ., un fortschreiten, und zwar ist, wenn man durch
(u1, u2, … un)α eine homogene Function des αten Grades von u1, u2 . . . . bezeichnet,
2. [Formel 1]

Diese Reihen convergiren zwar nicht beständig, aber doch für alle Werthe von
u1, u2, . . . ., die ihrer absoluten Grösse nach bestimmte Grenzen nicht überschreiten.
Sodann kann man mit Hülfe des Abel’schen Theorems nachweisen, das x1, x2, …xn
Wurzeln ein und derselben Gleichung n ten Grades sind, der man die Form
3. [Formel 2]
geben kann, wo p1, p2, … pn eindeutige Functionen von u1, u2, … un sind, die
ganz den Charakter rationaler Functionen besitzen. In Reihen nach Potenzen von
u1, u2 … entwickelt hat pa genau dieselbe Gestalt wie die Reihe auf der rechten Seite
der Gleichung (2), woraus erhellt, dass pa eine ungrade Function von u1, u2 . . . . ist.
Ferner hat man
4. [Formel 3]
Für n = 1 ergiebt sich, wenn man x, u, p für x1, u1, p1 schreibt,
[Formel 4] [Formel 5] woraus [Formel 6]
folgt, so dass p = sin am u, oder nach Gudermann’s kürzerer Bezeichnung (Theorie
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Zitationshilfe: Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 11. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/16>, abgerufen am 21.11.2024.