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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Anderes Buch
nenne ich F; und sage/ F sey der Nenner der Verhältnis A gegen B, das ist/ wann B durch F
geführet oder vervielfältiget werde/ so komme A, oder das jenige/ was aus F in B kommt (wel-
ches ich unter dessen G nenne) sey dem ersten/ A, gleich. Weil dann nun aus F in B kommt
G, und aus E in B kommt C, so verhält sich/ wie F gegen E, also G gegen C, vermög des
18den im VII. B. Und wiederumb/ weil aus D in C kommt A und aus D in E kommt F,
so verhält sich/ wie E gegen C, also F gegen A, nach dem 17den des VII. B. und wechsel-
weis/ wie E gegen F, also C gegen A, und umbgekehret/ wie F gegen E, also A gegen C.
Wie aber F gegen E, also war zuvor auch G gegen C. Derowegen haben A und G gegen ei-
nem/ C, gleiche Verhältnis/ und sind daher (vermög des 9ten im V. B.) A und G einan-
der gleich/ etc.

Dieser Beweiß Eutokii gründet sich/ wie man sihet/ auf dem 17den und 18den des VII.
Buchs/ welche aber allein von denen Zahlen reden; und deswegen ist er nicht allgemein/ es sey
dann/ daß diese zuvor allgemein gemachet werden/ welches dann gar leichtlich geschehen kan/
dieweil sie beyde/ wann man sie recht ansihet/ nur einen einigen Lehrsatz machen/ und im Grund
anderst nichts als dieses wollen: daß/ wann zwey gegebene Dinge a und b durch ein drittes/ e,
(oder dieses dritte durch jene beyde) geführet oder vervielfältiget werde/ alsdann beyde Pro-
duct oder Folgen/ ea und eb eben die Verhältnis gegen einander haben/ wie die gegebene/ a
und b gegen einander/ welches für Augen liget und fast handgreiflich ist.

Eben so leicht und augenscheinlich kan ich obiges/ oder vielmehr diesen allgemeinen Lehr-
satz beweisen:

Wann zwischen zweyen gegebenen Dingen/ welche eine gewisse Ver-
hältnis gegen einander haben/ als a und ea, etliche andere (so viel man
will) gesetzet werden/ so ist die Verhältnis derer beyden gegebenen zu-
sammgesetzet aus allen Verhältnissen/ des ersten gegen dem andern/ und
des andern gegen dem dritten/ und so fort biß auf das lezte.

Dann/ wann zum Exempel b darzwischen gesetzet wird/ und man den Nenner der ersten
Verhältnis/ des a gegen b (nehmlich ) vervielfältiget oder führet durch den Nenner der
andern/ des b gegen ea (nehmlich ) so kommt , das ist , welches ist der Nenner
der Verhältnis des a gegen ea. Also wann mehr nach Belieben/ b, c, d, e, &c. darzwischen
gesetzet/ und alle Nenner (, , , , ) durcheinander geführet werden/ kommt
, das ist/ wieder , weil die übrige Buchstaben oben und unten können weggenom-
men/ und also der Bruch in diese kleine Form gebracht werden.

2. Das andere und fürnehmste ist/ daß Archimedes in seiner Auflösung begehret/ es
solle BD in X also geteihlet werden daß FX gegen FH sich verhalte/ wie die Vierung BD
gegen der Vierung DX. Welches er zwar verheisset zum Beschluß oder am End zu lehren/
solchem seinem Verheiß aber nicht nachkommet; sintemal/ wie Eutokius schon erinnert/ in
seinen Büchern dergleichen nirgend zu finden ist. Es gedenket zwar gedachter Eutokius/
daß er/ nach vielem fleissigem Nachsuchen/ dergleichen etwas gefunden habe in einem alten
Buch/ welches zum Teihl in Dorischer (dem Archimedi sonsten beliebter) Sprache beschrie-
ben gewesen/ und derer alten Nahmen oder Kunstwörter sich (wie Archimedes) gebrauchet
habe/ in dem es nehmlich eine Parabole/ den Durchschnitt eines geradwinklichten/ eine Hy-
perbole aber den Durchschnitt eines stumpfwinklichten/ Kegels genennet; also daß er daher ge-
muhtmasset habe/ ob vielleicht selbiges altes Buch eben das jenige sey/ welches die jenige Sa-
chen in sich hielte/ die Archimedes im End oder zum Beschluß zu erweisen versprochen hatte.
Weilen aber in selbigem Buch so wol die Beschreibungen und Beweißtuhme/ als die Figuren
(wie er meldet) sehr falsch und irrsam/ auch über dieses gar dunkel und undeutlich waren; als
hat sich Eutokius bemühet/ die Sache/ so viel möglich/ klar und verständlich zu machen/ und
zu dem Ende/ die begehrte Teihlung erstlich durch eine allgemeine Aufgab gelehret/ nachmals
absonderlich auf Archimedis Vorhaben gezogen.

Die all-

Archimedis Anderes Buch
nenne ich F; und ſage/ F ſey der Nenner der Verhaͤltnis A gegen B, das iſt/ wann B durch F
gefuͤhret oder vervielfaͤltiget werde/ ſo komme A, oder das jenige/ was aus F in B kommt (wel-
ches ich unter deſſen G nenne) ſey dem erſten/ A, gleich. Weil dann nun aus F in B kommt
G, und aus E in B kommt C, ſo verhaͤlt ſich/ wie F gegen E, alſo G gegen C, vermoͤg des
18den im VII. B. Und wiederumb/ weil aus D in C kommt A und aus D in E kommt F,
ſo verhaͤlt ſich/ wie E gegen C, alſo F gegen A, nach dem 17den des VII. B. und wechſel-
weis/ wie E gegen F, alſo C gegen A, und umbgekehret/ wie F gegen E, alſo A gegen C.
Wie aber F gegen E, alſo war zuvor auch G gegen C. Derowegen haben A und G gegen ei-
nem/ C, gleiche Verhaͤltnis/ und ſind daher (vermoͤg des 9ten im V. B.) A und G einan-
der gleich/ ꝛc.

Dieſer Beweiß Eutokii gruͤndet ſich/ wie man ſihet/ auf dem 17den und 18den des VII.
Buchs/ welche aber allein von denen Zahlen reden; und deswegen iſt er nicht allgemein/ es ſey
dann/ daß dieſe zuvor allgemein gemachet werden/ welches dann gar leichtlich geſchehen kan/
dieweil ſie beyde/ wann man ſie recht anſihet/ nur einen einigen Lehrſatz machen/ und im Grund
anderſt nichts als dieſes wollen: daß/ wann zwey gegebene Dinge a und b durch ein drittes/ e,
(oder dieſes dritte durch jene beyde) gefuͤhret oder vervielfaͤltiget werde/ alsdann beyde Pro-
duct oder Folgen/ ea und eb eben die Verhaͤltnis gegen einander haben/ wie die gegebene/ a
und b gegen einander/ welches fuͤr Augen liget und faſt handgreiflich iſt.

Eben ſo leicht und augenſcheinlich kan ich obiges/ oder vielmehr dieſen allgemeinen Lehr-
ſatz beweiſen:

Wann zwiſchen zweyen gegebenen Dingen/ welche eine gewiſſe Ver-
haͤltnis gegen einander haben/ als a und ea, etliche andere (ſo viel man
will) geſetzet werden/ ſo iſt die Verhaͤltnis derer beyden gegebenen zu-
ſammgeſetzet aus allen Verhaͤltniſſen/ des erſten gegen dem andern/ und
des andern gegen dem dritten/ und ſo fort biß auf das lezte.

Dann/ wann zum Exempel b darzwiſchen geſetzet wird/ und man den Nenner der erſten
Verhaͤltnis/ des a gegen b (nehmlich ) vervielfaͤltiget oder fuͤhret durch den Nenner der
andern/ des b gegen ea (nehmlich ) ſo kommt , das iſt , welches iſt der Nenner
der Verhaͤltnis des a gegen ea. Alſo wann mehr nach Belieben/ b, c, d, e, &c. darzwiſchen
geſetzet/ und alle Nenner (, , , , ) durcheinander gefuͤhret werden/ kommt
, das iſt/ wieder , weil die uͤbrige Buchſtaben oben und unten koͤnnen weggenom-
men/ und alſo der Bruch in dieſe kleine Form gebracht werden.

2. Das andere und fuͤrnehmſte iſt/ daß Archimedes in ſeiner Aufloͤſung begehret/ es
ſolle BD in X alſo geteihlet werden daß FX gegen FH ſich verhalte/ wie die Vierung BD
gegen der Vierung DX. Welches er zwar verheiſſet zum Beſchluß oder am End zu lehren/
ſolchem ſeinem Verheiß aber nicht nachkommet; ſintemal/ wie Eutokius ſchon erinnert/ in
ſeinen Buͤchern dergleichen nirgend zu finden iſt. Es gedenket zwar gedachter Eutokius/
daß er/ nach vielem fleiſſigem Nachſuchen/ dergleichen etwas gefunden habe in einem alten
Buch/ welches zum Teihl in Doriſcher (dem Archimedi ſonſten beliebter) Sprache beſchrie-
ben geweſen/ und derer alten Nahmen oder Kunſtwoͤrter ſich (wie Archimedes) gebrauchet
habe/ in dem es nehmlich eine Parabole/ den Durchſchnitt eines geradwinklichten/ eine Hy-
perbole aber den Durchſchnitt eines ſtumpfwinklichten/ Kegels genennet; alſo daß er daher ge-
muhtmaſſet habe/ ob vielleicht ſelbiges altes Buch eben das jenige ſey/ welches die jenige Sa-
chen in ſich hielte/ die Archimedes im End oder zum Beſchluß zu erweiſen verſprochen hatte.
Weilen aber in ſelbigem Buch ſo wol die Beſchreibungen und Beweißtuhme/ als die Figuren
(wie er meldet) ſehr falſch und irꝛſam/ auch uͤber dieſes gar dunkel und undeutlich waren; als
hat ſich Eutokius bemuͤhet/ die Sache/ ſo viel moͤglich/ klar und verſtaͤndlich zu machen/ und
zu dem Ende/ die begehrte Teihlung erſtlich durch eine allgemeine Aufgab gelehret/ nachmals
abſonderlich auf Archimedis Vorhaben gezogen.

Die all-
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[130/0158] Archimedis Anderes Buch nenne ich F; und ſage/ F ſey der Nenner der Verhaͤltnis A gegen B, das iſt/ wann B durch F gefuͤhret oder vervielfaͤltiget werde/ ſo komme A, oder das jenige/ was aus F in B kommt (wel- ches ich unter deſſen G nenne) ſey dem erſten/ A, gleich. Weil dann nun aus F in B kommt G, und aus E in B kommt C, ſo verhaͤlt ſich/ wie F gegen E, alſo G gegen C, vermoͤg des 18den im VII. B. Und wiederumb/ weil aus D in C kommt A und aus D in E kommt F, ſo verhaͤlt ſich/ wie E gegen C, alſo F gegen A, nach dem 17den des VII. B. und wechſel- weis/ wie E gegen F, alſo C gegen A, und umbgekehret/ wie F gegen E, alſo A gegen C. Wie aber F gegen E, alſo war zuvor auch G gegen C. Derowegen haben A und G gegen ei- nem/ C, gleiche Verhaͤltnis/ und ſind daher (vermoͤg des 9ten im V. B.) A und G einan- der gleich/ ꝛc. Dieſer Beweiß Eutokii gruͤndet ſich/ wie man ſihet/ auf dem 17den und 18den des VII. Buchs/ welche aber allein von denen Zahlen reden; und deswegen iſt er nicht allgemein/ es ſey dann/ daß dieſe zuvor allgemein gemachet werden/ welches dann gar leichtlich geſchehen kan/ dieweil ſie beyde/ wann man ſie recht anſihet/ nur einen einigen Lehrſatz machen/ und im Grund anderſt nichts als dieſes wollen: daß/ wann zwey gegebene Dinge a und b durch ein drittes/ e, (oder dieſes dritte durch jene beyde) gefuͤhret oder vervielfaͤltiget werde/ alsdann beyde Pro- duct oder Folgen/ ea und eb eben die Verhaͤltnis gegen einander haben/ wie die gegebene/ a und b gegen einander/ welches fuͤr Augen liget und faſt handgreiflich iſt. Eben ſo leicht und augenſcheinlich kan ich obiges/ oder vielmehr dieſen allgemeinen Lehr- ſatz beweiſen: Wann zwiſchen zweyen gegebenen Dingen/ welche eine gewiſſe Ver- haͤltnis gegen einander haben/ als a und ea, etliche andere (ſo viel man will) geſetzet werden/ ſo iſt die Verhaͤltnis derer beyden gegebenen zu- ſammgeſetzet aus allen Verhaͤltniſſen/ des erſten gegen dem andern/ und des andern gegen dem dritten/ und ſo fort biß auf das lezte. Dann/ wann zum Exempel b darzwiſchen geſetzet wird/ und man den Nenner der erſten Verhaͤltnis/ des a gegen b (nehmlich [FORMEL]) vervielfaͤltiget oder fuͤhret durch den Nenner der andern/ des b gegen ea (nehmlich [FORMEL]) ſo kommt [FORMEL], das iſt [FORMEL], welches iſt der Nenner der Verhaͤltnis des a gegen ea. Alſo wann mehr nach Belieben/ b, c, d, e, &c. darzwiſchen geſetzet/ und alle Nenner ([FORMEL], [FORMEL], [FORMEL], [FORMEL], [FORMEL]) durcheinander gefuͤhret werden/ kommt [FORMEL], das iſt/ wieder [FORMEL], weil die uͤbrige Buchſtaben oben und unten koͤnnen weggenom- men/ und alſo der Bruch in dieſe kleine Form gebracht werden. 2. Das andere und fuͤrnehmſte iſt/ daß Archimedes in ſeiner Aufloͤſung begehret/ es ſolle BD in X alſo geteihlet werden daß FX gegen FH ſich verhalte/ wie die Vierung BD gegen der Vierung DX. Welches er zwar verheiſſet zum Beſchluß oder am End zu lehren/ ſolchem ſeinem Verheiß aber nicht nachkommet; ſintemal/ wie Eutokius ſchon erinnert/ in ſeinen Buͤchern dergleichen nirgend zu finden iſt. Es gedenket zwar gedachter Eutokius/ daß er/ nach vielem fleiſſigem Nachſuchen/ dergleichen etwas gefunden habe in einem alten Buch/ welches zum Teihl in Doriſcher (dem Archimedi ſonſten beliebter) Sprache beſchrie- ben geweſen/ und derer alten Nahmen oder Kunſtwoͤrter ſich (wie Archimedes) gebrauchet habe/ in dem es nehmlich eine Parabole/ den Durchſchnitt eines geradwinklichten/ eine Hy- perbole aber den Durchſchnitt eines ſtumpfwinklichten/ Kegels genennet; alſo daß er daher ge- muhtmaſſet habe/ ob vielleicht ſelbiges altes Buch eben das jenige ſey/ welches die jenige Sa- chen in ſich hielte/ die Archimedes im End oder zum Beſchluß zu erweiſen verſprochen hatte. Weilen aber in ſelbigem Buch ſo wol die Beſchreibungen und Beweißtuhme/ als die Figuren (wie er meldet) ſehr falſch und irꝛſam/ auch uͤber dieſes gar dunkel und undeutlich waren; als hat ſich Eutokius bemuͤhet/ die Sache/ ſo viel moͤglich/ klar und verſtaͤndlich zu machen/ und zu dem Ende/ die begehrte Teihlung erſtlich durch eine allgemeine Aufgab gelehret/ nachmals abſonderlich auf Archimedis Vorhaben gezogen. Die all-

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 130. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/158>, abgerufen am 28.04.2024.