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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.

Da immer 0 x ; a gilt, so ist es nichtssagend, zu verlangen,
dass "ein" x-Bild von a verschwinde, und hat solches vielmehr nur
einen Sinn, wenn man es in Gestalt von x ; a = 0 von "dem" x-Bilde
von a fordert.

Seien nun a = a ; 1 und b = b ; 1 Systeme, und bethätigen wir
bei der Chiffrirung der Forderungen die S. 597 im Kontext angegebnen
Bezeichnungsgrundsätze, so ist zunächst folgendes ein Überblick über
naheliegende Forderungsmöglichkeiten und deren Formulirung.

Das x-Bild jedes Elements von a verschwindet:
a1 = Ph{(h a) (x ; h = 0)} = 0 j xn j an = (x ; a = 0) = (x an).
Es gibt Elemente von a, deren x-Bild nicht verschwindet:
an1 = Sh(h a)(x ; h 0) = 1 ; x ; a = (x ; a 0) = (x an).
Das x-Bild keines Elements von a verschwindet:
a2 = Ph{(h a) (x ; h 0)} = 1 ; x j an = (a x ; 1).
Es gibt Elemente von a, deren x-Bild verschwindet:
an2 = Sh(h a)(x ; h = 0) = (0 j xn) ; a = (a x ; 1).
Zu bemerken ist, dass die universalen Urteile a1 und a2 auch zutreffen für
a = 0, d. h. wenn es gar kein Element von a gibt. Dann gilt im Geiste
unsrer Algebra der Logik von "jedem" Element von a bekanntlich alles
Erdenkliche: sowol dass es verschwindet, als auch dass es nicht ver-
schwindet. Alsdann ist a1 mit a2 (besagend: dass das x-Bild jedes Ele-
ments von a nicht verschwinde) verträglich.

Analog haben wir, a mit b, x mit x (und h mit k) vertauschend:
b1 = Pk{(k b) (x ; k = 0)} = 0 j xn j bn = (x ; b = 0) = (x bn).
bn1 = Sk(k b)(x ; k 0) = 1 ; x ; b = (x ; b 0) = (x bn).
b2 = Pk{(k b) (x ; k 0)} = 1 ; x j bn = (b x ; 1).
bn2 = Sk(k b)(x ; k = 0) = (0 j xn) ; b = (b x ; 1).
Man ziehe die Konklusionen (siehe hernach unter g):
an2 (1 = xn ; a), bn2 (1 = xn ; b). --
Die folgenden Bezeichnungen g1 bis g4 sind unabhängig von den S. 617 sqq.
schon vorgekommen.

Das x-Bild jedes Elements von a hat nichts mit b gemein =
= " " " keines " " " " etwas " " ":

g1 = Ph{(h a) (x ; h bn)} = bn j xn j an = (x ; a bn) = (x bn + an) = (abx = 0) =
(= d1) = Pk{(k b) (x ; k an)} = an j xn j bn = (x ; b an) = (x an + bn) = (abx = 0).

Es gibt Elemente in a, deren x-Bild etwas mit b gemein hat:

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(= dn1) = Sk(k b)(x ; k an) = a ; x ; b = (x ; b an) = (x an + bn) = (abx 0).


Zwölfte Vorlesung.

Da immer 0 ⋹ x ; a gilt, so ist es nichtssagend, zu verlangen,
dass „ein“ x-Bild von a verschwinde, und hat solches vielmehr nur
einen Sinn, wenn man es in Gestalt von x ; a = 0 von „dem“ x-Bilde
von a fordert.

Seien nun a = a ; 1 und b = b ; 1 Systeme, und bethätigen wir
bei der Chiffrirung der Forderungen die S. 597 im Kontext angegebnen
Bezeichnungsgrundsätze, so ist zunächst folgendes ein Überblick über
naheliegende Forderungsmöglichkeiten und deren Formulirung.

Das x-Bild jedes Elements von a verschwindet:
α1 = Πh{(h ⋹ a) ⋹ (x ; h = 0)} = 0 ɟ x̄ ɟ ā = (x ; a = 0) = (x ⋹ ā̆).
Es gibt Elemente von a, deren x-Bild nicht verschwindet:
ᾱ1 = Σh(h ⋹ a)(x ; h ≠ 0) = 1 ; x ; a = (x ; a ≠ 0) = (x ⋹ ā̆).
Das x-Bild keines Elements von a verschwindet:
α2 = Πh{(h ⋹ a) ⋹ (x ; h ≠ 0)} = 1 ; x ɟ ā = (a ⋹ x̆ ; 1).
Es gibt Elemente von a, deren x-Bild verschwindet:
ᾱ2 = Σh(h ⋹ a)(x ; h = 0) = (0 ɟ x̄) ; a = (a ⋹ x̆ ; 1).
Zu bemerken ist, dass die universalen Urteile α1 und α2 auch zutreffen für
a = 0, d. h. wenn es gar kein Element von a gibt. Dann gilt im Geiste
unsrer Algebra der Logik von „jedem“ Element von a bekanntlich alles
Erdenkliche: sowol dass es verschwindet, als auch dass es nicht ver-
schwindet. Alsdann ist α1 mit α2 (besagend: dass das x-Bild jedes Ele-
ments von a nicht verschwinde) verträglich.

Analog haben wir, a mit b, x mit x̆ (und h mit k) vertauschend:
β1 = Πk{(k ⋹ b) ⋹ (x̆ ; k = 0)} = 0 ɟ x̄̆ ɟ b̄ = (x̆ ; b = 0) = (x ⋹ b̄).
β̄1 = Σk(k ⋹ b)(x̆ ; k ≠ 0) = 1 ; x̆ ; b = (x̆ ; b ≠ 0) = (x ⋹ b̄).
β2 = Πk{(k ⋹ b) ⋹ (x̆ ; k ≠ 0)} = 1 ; x̆ ɟ b̄ = (b ⋹ x ; 1).
β̄2 = Σk(k ⋹ b)(x̆ ; k = 0) = (0 ɟ x̄̆) ; b = (b ⋹ x ; 1).
Man ziehe die Konklusionen (siehe hernach unter γ):
ᾱ2⋹ (1 = x̄ ; a), β̄2 ⋹ (1 = x̄̆ ; b). —
Die folgenden Bezeichnungen γ1 bis γ4 sind unabhängig von den S. 617 sqq.
schon vorgekommen.

Das x-Bild jedes Elements von a hat nichts mit b gemein =
= „ „ „ keines „ „ „ „ etwas „ „ „:

γ1 = Πh{(h ⋹ a) ⋹ (x ; h ⋹ b̄)} = b̄̆ ɟ x̄ ɟ ā = (x ; a ⋹ b̄) = (x ⋹ b̄ + ā̆) = (ăbx = 0) =
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Es gibt Elemente in a, deren x-Bild etwas mit b gemein hat:

γ̄1 = Σh(h ⋹ a)(x ; h ⋹ b̄) = b̆ ; x ; a = (x ; a ⋹ b̄) = (x ⋹ b̄ + ā̆) = (ăbx ≠ 0) =
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[644/0658] Zwölfte Vorlesung. Da immer 0 ⋹ x ; a gilt, so ist es nichtssagend, zu verlangen, dass „ein“ x-Bild von a verschwinde, und hat solches vielmehr nur einen Sinn, wenn man es in Gestalt von x ; a = 0 von „dem“ x-Bilde von a fordert. Seien nun a = a ; 1 und b = b ; 1 Systeme, und bethätigen wir bei der Chiffrirung der Forderungen die S. 597 im Kontext angegebnen Bezeichnungsgrundsätze, so ist zunächst folgendes ein Überblick über naheliegende Forderungsmöglichkeiten und deren Formulirung. Das x-Bild jedes Elements von a verschwindet: α1 = Πh{(h ⋹ a) ⋹ (x ; h = 0)} = 0 ɟ x̄ ɟ ā = (x ; a = 0) = (x ⋹ ā̆). Es gibt Elemente von a, deren x-Bild nicht verschwindet: ᾱ1 = Σh(h ⋹ a)(x ; h ≠ 0) = 1 ; x ; a = (x ; a ≠ 0) = (x ⋹ ā̆). Das x-Bild keines Elements von a verschwindet: α2 = Πh{(h ⋹ a) ⋹ (x ; h ≠ 0)} = 1 ; x ɟ ā = (a ⋹ x̆ ; 1). Es gibt Elemente von a, deren x-Bild verschwindet: ᾱ2 = Σh(h ⋹ a)(x ; h = 0) = (0 ɟ x̄) ; a = (a ⋹ x̆ ; 1). Zu bemerken ist, dass die universalen Urteile α1 und α2 auch zutreffen für a = 0, d. h. wenn es gar kein Element von a gibt. Dann gilt im Geiste unsrer Algebra der Logik von „jedem“ Element von a bekanntlich alles Erdenkliche: sowol dass es verschwindet, als auch dass es nicht ver- schwindet. Alsdann ist α1 mit α2 (besagend: dass das x-Bild jedes Ele- ments von a nicht verschwinde) verträglich. Analog haben wir, a mit b, x mit x̆ (und h mit k) vertauschend: β1 = Πk{(k ⋹ b) ⋹ (x̆ ; k = 0)} = 0 ɟ x̄̆ ɟ b̄ = (x̆ ; b = 0) = (x ⋹ b̄). β̄1 = Σk(k ⋹ b)(x̆ ; k ≠ 0) = 1 ; x̆ ; b = (x̆ ; b ≠ 0) = (x ⋹ b̄). β2 = Πk{(k ⋹ b) ⋹ (x̆ ; k ≠ 0)} = 1 ; x̆ ɟ b̄ = (b ⋹ x ; 1). β̄2 = Σk(k ⋹ b)(x̆ ; k = 0) = (0 ɟ x̄̆) ; b = (b ⋹ x ; 1). Man ziehe die Konklusionen (siehe hernach unter γ): ᾱ2⋹ (1 = x̄ ; a), β̄2 ⋹ (1 = x̄̆ ; b). — Die folgenden Bezeichnungen γ1 bis γ4 sind unabhängig von den S. 617 sqq. schon vorgekommen. Das x-Bild jedes Elements von a hat nichts mit b gemein = = „ „ „ keines „ „ „ „ etwas „ „ „: γ1 = Πh{(h ⋹ a) ⋹ (x ; h ⋹ b̄)} = b̄̆ ɟ x̄ ɟ ā = (x ; a ⋹ b̄) = (x ⋹ b̄ + ā̆) = (ăbx = 0) = (= δ1) = Πk{(k ⋹ b) ⋹ (x̆ ; k ⋹ ā)} = ā̆ ɟ x̄̆ ɟ b̄ = (x̆ ; b ⋹ ā) = (x̆ ⋹ ā + b̄̆) = (ab̆x̆ = 0). Es gibt Elemente in a, deren x-Bild etwas mit b gemein hat: γ̄1 = Σh(h ⋹ a)(x ; h ⋹ b̄) = b̆ ; x ; a = (x ; a ⋹ b̄) = (x ⋹ b̄ + ā̆) = (ăbx ≠ 0) = (= δ̄1) = Σk(k ⋹ b)(x̆ ; k ⋹ ā) = ă ; x̆ ; b = (x̆ ; b ⋹ ā) = (x̆ ⋹ ā + b̄̆) = (ab̆x̆ ≠ 0).

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 644. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/658>, abgerufen am 18.02.2025.