Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.Zwölfte Vorlesung. Da immer 0 x ; a gilt, so ist es nichtssagend, zu verlangen, Seien nun a = a ; 1 und b = b ; 1 Systeme, und bethätigen wir Das x-Bild jedes Elements von a verschwindet: Analog haben wir, a mit b, x mit x (und h mit k) vertauschend: Das x-Bild jedes Elements von a hat nichts mit b gemein = g1 = Ph{(h a) (x ; h bn)} = bn j xn j an = (x ; a bn) = (x bn + an) = (abx = 0) = Es gibt Elemente in a, deren x-Bild etwas mit b gemein hat: gn1 = Sh(h a)(x ; h bn) = b ; x ; a = (x ; a bn) = (x bn + an) = (abx 0) = Zwölfte Vorlesung. Da immer 0 ⋹ x ; a gilt, so ist es nichtssagend, zu verlangen, Seien nun a = a ; 1 und b = b ; 1 Systeme, und bethätigen wir Das x-Bild jedes Elements von a verschwindet: Analog haben wir, a mit b, x mit x̆ (und h mit k) vertauschend: Das x-Bild jedes Elements von a hat nichts mit b gemein = γ1 = Πh{(h ⋹ a) ⋹ (x ; h ⋹ b̄)} = b̄̆ ɟ x̄ ɟ ā = (x ; a ⋹ b̄) = (x ⋹ b̄ + ā̆) = (ăbx = 0) = Es gibt Elemente in a, deren x-Bild etwas mit b gemein hat: γ̄1 = Σh(h ⋹ a)(x ; h ⋹ b̄) = b̆ ; x ; a = (x ; a ⋹ b̄) = (x ⋹ b̄ + ā̆) = (ăbx ≠ 0) = <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <pb facs="#f0658" n="644"/> <fw place="top" type="header">Zwölfte Vorlesung.</fw><lb/> <p>Da immer 0 ⋹ <hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> gilt, so ist es nichtssagend, zu verlangen,<lb/> dass „ein“ <hi rendition="#i">x</hi>-Bild von <hi rendition="#i">a</hi> verschwinde, und hat solches vielmehr nur<lb/> einen Sinn, wenn man es in Gestalt von <hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> = 0 von „dem“ <hi rendition="#i">x</hi>-Bilde<lb/> von <hi rendition="#i">a</hi> fordert.</p><lb/> <p>Seien nun <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">a</hi> ; 1 und <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">b</hi> ; 1 Systeme, und bethätigen wir<lb/> bei der Chiffrirung der Forderungen die S. 597 im Kontext angegebnen<lb/> Bezeichnungsgrundsätze, so ist zunächst folgendes ein Überblick über<lb/> naheliegende Forderungsmöglichkeiten und deren Formulirung.</p><lb/> <p>Das <hi rendition="#i">x</hi>-Bild jedes Elements von <hi rendition="#i">a</hi> verschwindet:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h</hi></hi>{(<hi rendition="#i">h</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi>) ⋹ (<hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> = 0)} = 0 ɟ <hi rendition="#i">x̄</hi> ɟ <hi rendition="#i">ā</hi> = (<hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> = 0) = (<hi rendition="#i">x</hi> ⋹ <hi rendition="#i">ā̆</hi>).</hi><lb/> Es gibt Elemente von <hi rendition="#i">a</hi>, deren <hi rendition="#i">x</hi>-Bild nicht verschwindet:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">ᾱ</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">h</hi></hi>(<hi rendition="#i">h</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi>)(<hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> ≠ 0) = 1 ; <hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> = (<hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> ≠ 0) = (<hi rendition="#i">x</hi> ⋹ <hi rendition="#i">ā̆</hi>).</hi><lb/> Das <hi rendition="#i">x</hi>-Bild keines Elements von <hi rendition="#i">a</hi> verschwindet:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">2</hi> = <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h</hi></hi>{(<hi rendition="#i">h</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi>) ⋹ (<hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> ≠ 0)} = 1 ; <hi rendition="#i">x</hi> ɟ <hi rendition="#i">ā</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x̆</hi> ; 1).</hi><lb/> Es gibt Elemente von <hi rendition="#i">a</hi>, deren <hi rendition="#i">x</hi>-Bild verschwindet:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">ᾱ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> = <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">h</hi></hi>(<hi rendition="#i">h</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi>)(<hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> = 0) = (0 ɟ <hi rendition="#i">x̄</hi>) ; <hi rendition="#i">a</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x̆</hi> ; 1).</hi><lb/> Zu bemerken ist, dass die universalen Urteile <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">2</hi> auch zutreffen für<lb/><hi rendition="#i">a</hi> = 0, d. h. wenn es gar kein Element von <hi rendition="#i">a</hi> gibt. 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Zwölfte Vorlesung.
Da immer 0 ⋹ x ; a gilt, so ist es nichtssagend, zu verlangen,
dass „ein“ x-Bild von a verschwinde, und hat solches vielmehr nur
einen Sinn, wenn man es in Gestalt von x ; a = 0 von „dem“ x-Bilde
von a fordert.
Seien nun a = a ; 1 und b = b ; 1 Systeme, und bethätigen wir
bei der Chiffrirung der Forderungen die S. 597 im Kontext angegebnen
Bezeichnungsgrundsätze, so ist zunächst folgendes ein Überblick über
naheliegende Forderungsmöglichkeiten und deren Formulirung.
Das x-Bild jedes Elements von a verschwindet:
α1 = Πh{(h ⋹ a) ⋹ (x ; h = 0)} = 0 ɟ x̄ ɟ ā = (x ; a = 0) = (x ⋹ ā̆).
Es gibt Elemente von a, deren x-Bild nicht verschwindet:
ᾱ1 = Σh(h ⋹ a)(x ; h ≠ 0) = 1 ; x ; a = (x ; a ≠ 0) = (x ⋹ ā̆).
Das x-Bild keines Elements von a verschwindet:
α2 = Πh{(h ⋹ a) ⋹ (x ; h ≠ 0)} = 1 ; x ɟ ā = (a ⋹ x̆ ; 1).
Es gibt Elemente von a, deren x-Bild verschwindet:
ᾱ2 = Σh(h ⋹ a)(x ; h = 0) = (0 ɟ x̄) ; a = (a ⋹ x̆ ; 1).
Zu bemerken ist, dass die universalen Urteile α1 und α2 auch zutreffen für
a = 0, d. h. wenn es gar kein Element von a gibt. Dann gilt im Geiste
unsrer Algebra der Logik von „jedem“ Element von a bekanntlich alles
Erdenkliche: sowol dass es verschwindet, als auch dass es nicht ver-
schwindet. Alsdann ist α1 mit α2 (besagend: dass das x-Bild jedes Ele-
ments von a nicht verschwinde) verträglich.
Analog haben wir, a mit b, x mit x̆ (und h mit k) vertauschend:
β1 = Πk{(k ⋹ b) ⋹ (x̆ ; k = 0)} = 0 ɟ x̄̆ ɟ b̄ = (x̆ ; b = 0) = (x ⋹ b̄).
β̄1 = Σk(k ⋹ b)(x̆ ; k ≠ 0) = 1 ; x̆ ; b = (x̆ ; b ≠ 0) = (x ⋹ b̄).
β2 = Πk{(k ⋹ b) ⋹ (x̆ ; k ≠ 0)} = 1 ; x̆ ɟ b̄ = (b ⋹ x ; 1).
β̄2 = Σk(k ⋹ b)(x̆ ; k = 0) = (0 ɟ x̄̆) ; b = (b ⋹ x ; 1).
Man ziehe die Konklusionen (siehe hernach unter γ):
ᾱ2⋹ (1 = x̄ ; a), β̄2 ⋹ (1 = x̄̆ ; b). —
Die folgenden Bezeichnungen γ1 bis γ4 sind unabhängig von den S. 617 sqq.
schon vorgekommen.
Das x-Bild jedes Elements von a hat nichts mit b gemein =
= „ „ „ keines „ „ „ „ etwas „ „ „:
γ1 = Πh{(h ⋹ a) ⋹ (x ; h ⋹ b̄)} = b̄̆ ɟ x̄ ɟ ā = (x ; a ⋹ b̄) = (x ⋹ b̄ + ā̆) = (ăbx = 0) =
(= δ1) = Πk{(k ⋹ b) ⋹ (x̆ ; k ⋹ ā)} = ā̆ ɟ x̄̆ ɟ b̄ = (x̆ ; b ⋹ ā) = (x̆ ⋹ ā + b̄̆) = (ab̆x̆ = 0).
Es gibt Elemente in a, deren x-Bild etwas mit b gemein hat:
γ̄1 = Σh(h ⋹ a)(x ; h ⋹ b̄) = b̆ ; x ; a = (x ; a ⋹ b̄) = (x ⋹ b̄ + ā̆) = (ăbx ≠ 0) =
(= δ̄1) = Σk(k ⋹ b)(x̆ ; k ⋹ ā) = ă ; x̆ ; b = (x̆ ; b ⋹ ā) = (x̆ ⋹ ā + b̄̆) = (ab̆x̆ ≠ 0).
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 644. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/658>, abgerufen am 18.02.2025. |