Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 31. Transitivität der eindeutigen Abbildung.

ist es überflüssig gemacht, dasselbe für den Sonderfall von Abbildungen
nochmals hervorzuheben. Auch bedarf die Komposition oder relative Multi-
plikation für uns keiner Erklärung mehr.

Bleibt somit für uns als Kern des Satzes die Behauptung der
Transitivität der eindeutigen Abbildung bestehen — was den Sätzen
D 31, 33 bei der ähnlichen Abbildung entspricht.

Sofern die „eindeutige Abbildung“ „im absoluten Sinne“ als eine auf
den ganzen Denkbereich bezügliche verstanden, das Wort also synonym mit
„Funktion“ genommen wird, ist auch diese Frage durch unsern all-
gemeinern Satz auf S. 567 bereits erledigt. Anders, wenn die eindeutige
Abbildung blos „relativ“ verstanden wird: als solche von einem bestimmten
System in ein andres hinein. Hier ist zu statuiren der

Satz. Wird ein System a durch ein Relativ x eindeutig ab-
gebildet in ein System b hinein und dieses durch y eindeutig in ein
System c hinein, so wird auch das System a durch das aus beiden
zusammengesetzte Relativ (z =)y ; x eindeutig in c hinein abgebildet.

Dies gilt in der That für die gemäss der Fassung 55) als „normal“
eindeutige charakterisirten Abbildungen x, y, z,
wo wir für z = y ; x in Formeln haben:
(x ; x̆ ⋹ 1')(a ⋹ x̆ ; b)(x ; a ⋹ b)(x ⋹ ăb)(y ; y̆ ⋹ 1')(b ⋹ y̆ ; c)(y ; b ⋹ c)(y ⋹ b̆c) ⋹
⋹ (z ; z̆ ⋹ 1')(a ⋹ z̆ ; c)(z ; a ⋹ c)(z ⋹ ăc)
und die drei ersten Teile der Behauptung mit
y ; x ; x̆ ; y̆ ⋹ 1', a ⋹ x̆ ; y̆ ; c, y ; x ; a ⋹ y ; b ⋹ c
wie bisher leicht erweislich erscheinen; aber auch die Adventivbedingung
betreffend mit x ⋹ ă, x ⋹ b, y ⋹ b̆, y ⋹ c sich schliessen lässt:
y ; x ⋹ y ; ă ⋹ c ; ă = că, also z ⋹ ă und z ⋹ c,
q. e. d. Der Satz gilt aber wiederum nicht für die in unsern andern, den
weiteren Fassungen als eindeutige definirten Abbildungen. Vielmehr ist
(auffallenderweise) zu seiner Geltung erforderlich, dass das externe Ver-
halten der Abbildungsprinzipien hinsichtlich a, b, c so, wie es eben bei
der normalen Fassung 55) geschah, eingeschränkt werde.

Indem man in 55) b = 1 nimmt, kann man diese Definition der
eindeutigen Abbildung auch als eine solche fassen, die blos relativ ist
inbezug auf das Objekt derselben [nicht aber auch, wie 55), inbezug
auf das Bild oder den Rezipienten von diesem], und zwar in Gestalt von:
67) (z ; z̆ ⋹ 1')(a ⋹ z̆ ; 1)(z ⋹ ă), = (z ; z̆ ⋹ 1')(z ⋹ ă = 1 ; z)
was die normale Form zu 54) ist.

Auch mit dieser Fassung wird man leicht den Satz beweisen:
Wird das System a durch x, dessen Bild x ; a durch y eindeutig ab-
gebildet, so wird auch a durch (z =)y ; x eindeutig abgebildet. D. h.