oder beide sind es nicht und bilden sodann Mannigfaltigkeiten der zweiten Art im G. Cantor'schen Sinne. Als Beispiel für dieses letztre seien die irrationalen Zahlen -- auch schon die transcendent(irrational)en -- oder auch die Zahlen überhaupt, die Gesamtheit der Punkte einer Geraden, etc. angeführt. Als eins der frappantesten Beispiele zu jenem erstern haben Herrn Cantor's Arbeiten bekanntlich die überraschende Thatsache zutage gefördert: dass das System der rationalen Zahlen (ja sogar das der alge- braischen Zahlen) von gleicher Mächtigkeit ist mit dem der positiven ganzen Zahlen.
Wir haben es also zu thun mit einer Erweiterung des Begriffs der Gleichzahligkeit von endlichen Mengen, durch den derselbe auch auf un- begrenzte Systeme anwendbar wird und die zugleich für ihn selber pro- pädeutisch ist -- und werden dabei auf Betrachtungen hingeleitet, die nicht verfehlen können, auch der "Mannigfaltigkeitslehre" und den Theorien des "aktual Unendlichen" den Anschluss an die allgemeine Logik zu sichern und sich in diesen einst noch fruchtbar zu erweisen.
Möge darum der Studirende frei von utilitarischen Rücksichten unsern Ausführungen folgen und als einen Hauptzweck derselben den in's Auge fassen, dass es sich darum handelt, das Instrument unsrer Algebra zunächst einmal ordentlich in die Gewalt zu bekommen, um auch auf subtilere Auf- gaben es anwenden zu lernen.
Sehr viel wird ja schon gewonnen sein und der Descartes- Leibniz'sche Pasigraphiegedanke wird um einen gewaltigen, vielleicht um seinen bedeutungsvollsten und schwersten Schritt gefördert er- scheinen, wenn es (in diesem Bande) nur überhaupt gelingt den Nach- weis zu liefern: dass das mit unsern Festsetzungen (1) bis (15) ge- schaffne Bezeichnungskapital (das ich in meiner Annalennote11 auf einer halben -- gar nicht sehr dicht bedruckten -- Seite übersichtlichst zu- sammengestellt habe) völlig ausreichend ist, um alle Erklärungen, Sätze und Schlüsse aus dem Gedankenkreise der Dedekind'schen Schrift -- mithin die Grundbegriffe der gesamten arithmetischen Wissenschaft -- in konziseste Formeln einzukleiden und mit absoluter Konsequenz, exakt und erschöpfend zur Darstellung zu bringen.
Indem wir, etwas abweichend vom Dedekind'schen Gange, die Be- trachtung der nur einseitig eindeutigen Zuordnung von Elementen eines Systems zu denen eines andern auf etwas später verschieben, beginnen wir sogleich mit der gegenseitig eindeutigen Zuordnung zwischen den Elementen zweier Systeme und dem Begriff der "ähnlichen" Systeme D 26, 32 sowie, daran anschliessend, mit der Etablirung der auf letztere bezüglichen Sätze.
Dabei werden wir jedoch mehrere Wege auszugehen haben. Für die Ähnlichkeitsdefinition drängen sich uns verschiedene Fassungen auf, die auch aufeinander zurückzuführen sein werden.
Notwendige und hinreichende Bedingung für die "Ähnlichkeit" sive "Gleichmächtigkeit" zweier Systeme
§ 31. G. Cantor’s gleichmächtige Systeme.
oder beide sind es nicht und bilden sodann Mannigfaltigkeiten der zweiten Art im G. Cantor’schen Sinne. Als Beispiel für dieses letztre seien die irrationalen Zahlen — auch schon die transcendent(irrational)en — oder auch die Zahlen überhaupt, die Gesamtheit der Punkte einer Geraden, etc. angeführt. Als eins der frappantesten Beispiele zu jenem erstern haben Herrn Cantor’s Arbeiten bekanntlich die überraschende Thatsache zutage gefördert: dass das System der rationalen Zahlen (ja sogar das der alge- braischen Zahlen) von gleicher Mächtigkeit ist mit dem der positiven ganzen Zahlen.
Wir haben es also zu thun mit einer Erweiterung des Begriffs der Gleichzahligkeit von endlichen Mengen, durch den derselbe auch auf un- begrenzte Systeme anwendbar wird und die zugleich für ihn selber pro- pädeutisch ist — und werden dabei auf Betrachtungen hingeleitet, die nicht verfehlen können, auch der „Mannigfaltigkeitslehre“ und den Theorien des „aktual Unendlichen“ den Anschluss an die allgemeine Logik zu sichern und sich in diesen einst noch fruchtbar zu erweisen.
Möge darum der Studirende frei von utilitarischen Rücksichten unsern Ausführungen folgen und als einen Hauptzweck derselben den in’s Auge fassen, dass es sich darum handelt, das Instrument unsrer Algebra zunächst einmal ordentlich in die Gewalt zu bekommen, um auch auf subtilere Auf- gaben es anwenden zu lernen.
Sehr viel wird ja schon gewonnen sein und der Descartes- Leibniz’sche Pasigraphiegedanke wird um einen gewaltigen, vielleicht um seinen bedeutungsvollsten und schwersten Schritt gefördert er- scheinen, wenn es (in diesem Bande) nur überhaupt gelingt den Nach- weis zu liefern: dass das mit unsern Festsetzungen (1) bis (15) ge- schaffne Bezeichnungskapital (das ich in meiner Annalennote11 auf einer halben — gar nicht sehr dicht bedruckten — Seite übersichtlichst zu- sammengestellt habe) völlig ausreichend ist, um alle Erklärungen, Sätze und Schlüsse aus dem Gedankenkreise der Dedekind’schen Schrift — mithin die Grundbegriffe der gesamten arithmetischen Wissenschaft — in konziseste Formeln einzukleiden und mit absoluter Konsequenz, exakt und erschöpfend zur Darstellung zu bringen.
Indem wir, etwas abweichend vom Dedekind’schen Gange, die Be- trachtung der nur einseitig eindeutigen Zuordnung von Elementen eines Systems zu denen eines andern auf etwas später verschieben, beginnen wir sogleich mit der gegenseitig eindeutigen Zuordnung zwischen den Elementen zweier Systeme und dem Begriff der „ähnlichen“ Systeme D 26, 32 sowie, daran anschliessend, mit der Etablirung der auf letztere bezüglichen Sätze.
Dabei werden wir jedoch mehrere Wege auszugehen haben. Für die Ähnlichkeitsdefinition drängen sich uns verschiedene Fassungen auf, die auch aufeinander zurückzuführen sein werden.
Notwendige und hinreichende Bedingung für die „Ähnlichkeit“ sive „Gleichmächtigkeit“ zweier Systeme
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§ 31. G. Cantor’s gleichmächtige Systeme.
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irrationalen Zahlen — auch schon die transcendent(irrational)en — oder
auch die Zahlen überhaupt, die Gesamtheit der Punkte einer Geraden, etc.
angeführt. Als eins der frappantesten Beispiele zu jenem erstern haben
Herrn Cantor’s Arbeiten bekanntlich die überraschende Thatsache zutage
gefördert: dass das System der rationalen Zahlen (ja sogar das der alge-
braischen Zahlen) von gleicher Mächtigkeit ist mit dem der positiven ganzen
Zahlen.
Wir haben es also zu thun mit einer Erweiterung des Begriffs der
Gleichzahligkeit von endlichen Mengen, durch den derselbe auch auf un-
begrenzte Systeme anwendbar wird und die zugleich für ihn selber pro-
pädeutisch ist — und werden dabei auf Betrachtungen hingeleitet, die nicht
verfehlen können, auch der „Mannigfaltigkeitslehre“ und den Theorien des
„aktual Unendlichen“ den Anschluss an die allgemeine Logik zu sichern
und sich in diesen einst noch fruchtbar zu erweisen.
Möge darum der Studirende frei von utilitarischen Rücksichten unsern
Ausführungen folgen und als einen Hauptzweck derselben den in’s Auge
fassen, dass es sich darum handelt, das Instrument unsrer Algebra zunächst
einmal ordentlich in die Gewalt zu bekommen, um auch auf subtilere Auf-
gaben es anwenden zu lernen.
Sehr viel wird ja schon gewonnen sein und der Descartes-
Leibniz’sche Pasigraphiegedanke wird um einen gewaltigen, vielleicht
um seinen bedeutungsvollsten und schwersten Schritt gefördert er-
scheinen, wenn es (in diesem Bande) nur überhaupt gelingt den Nach-
weis zu liefern: dass das mit unsern Festsetzungen (1) bis (15) ge-
schaffne Bezeichnungskapital (das ich in meiner Annalennote11 auf einer
halben — gar nicht sehr dicht bedruckten — Seite übersichtlichst zu-
sammengestellt habe) völlig ausreichend ist, um alle Erklärungen, Sätze
und Schlüsse aus dem Gedankenkreise der Dedekind’schen Schrift —
mithin die Grundbegriffe der gesamten arithmetischen Wissenschaft —
in konziseste Formeln einzukleiden und mit absoluter Konsequenz, exakt
und erschöpfend zur Darstellung zu bringen.
Indem wir, etwas abweichend vom Dedekind’schen Gange, die Be-
trachtung der nur einseitig eindeutigen Zuordnung von Elementen eines
Systems zu denen eines andern auf etwas später verschieben, beginnen wir
sogleich mit der gegenseitig eindeutigen Zuordnung zwischen den Elementen
zweier Systeme und dem Begriff der „ähnlichen“ Systeme D 26, 32 sowie,
daran anschliessend, mit der Etablirung der auf letztere bezüglichen Sätze.
Dabei werden wir jedoch mehrere Wege auszugehen haben. Für die
Ähnlichkeitsdefinition drängen sich uns verschiedene Fassungen auf, die auch
aufeinander zurückzuführen sein werden.
Notwendige und hinreichende Bedingung für die „Ähnlichkeit“
sive „Gleichmächtigkeit“ zweier Systeme
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 599. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/613>, abgerufen am 17.05.2024.
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