Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Zwölfte Vorlesung.

erwarten sein. Um unsern didaktischen Zweck zu erreichen können wir
aber, weil auch die Mathematik dergleichen Cyklen noch gar nicht in den
Kreis ihrer Betrachtungen zog, von den darauf bezüglichen Fragen hier
noch absehen. Und bei ihrem selbständigen Vorgehen behufs Legung des
Grundes zu einer Substitutionenlehre bräuchte sich unsre Disziplin um die
mathematische Substitutionentheorie prinzipiell überhaupt nicht zu kümmern.

Wir fahren hienach in unsrer Digression fort.

Die Mathematik bezeichnet einen Cyklus, wie A : B + B : C + C : D + D : A
bekanntlich einfacher mit (A, B, C, D), oder auch (B, C, D, A),
(C, D, A, B), (D, A, B, C), sonach: indem sie die konstitutiven Elemente
desselben, mit irgend einem von ihnen beginnend, (durch Kommata ge-
trennt) in eine Klammer setzt in derjenigen Reihenfolge, in der sie im
„geordneten“ Cyklus (ein jedes zweimal: erst als Korrelat, dann als
Relat) gelesen werden.

Nennen wir den Cyklus, als binäres Relativ betrachtet, für den
Augenblick a, so braucht der allgemeine Koeffizient a_{i j} nun blos ge-
deutet zu werden als die Aussage: „das Element i soll (in jedem Aus-
drucke, auf den man den Cyklus wirken lassen mag) durchweg ersetzt
werden durch das Element j“ — damit sich die Identität unsres Cyklus-
begriffs mit demjenigen der Mathematik offenbare. Denn die Er-
setzung wird nur dann wirklich zu vollziehen sein, wenn a_{i j} = 1 ist,
d. h. wenn das mit dem Faktor a_{i j} behaftete Elementepaar i : j ein
„effektives“ Glied der Summe a = Σ_{i j}a_{i j}(i : j), mithin unsres Cyklus, ist.

Was unsre „Cyklensumme“, nämlich Summe von „elementefremden“
Cyklen, betrifft, so gilt ein Gleiches: man erkennt, falls sie a genannt
wird, bei der angegebnen Deutung von a_{i j}, ihre Identität mit dem
„Produkte“ ebendieser Cyklen in der Mathematik. Nach der Bemerkung
S. 48 zu 3) des § 4 wird nämlich unsre „Cyklensumme“, obzwar als
die identische Summe aus den effektiven Elementepaaren erscheinend,
nicht etwa alternative, sondern simultane (gleichzeitige) Ausführung der
vorgeschriebnen Ersetzungen oder Elementvertauschungen fordern. Es
muss selbst das Π nach ij der sämtlichen von 0 verschiednen a_{i j}
gleich 1 sein.

Daraus erhellt denn auch schon die Identität unsres Substitutions-
begriffes mit dem der Mathematik — sofern ja unsre Substitution auch
eine „Cyklensumme“, die mathematische ein sogenanntes „Cyklen-
produkt“ ist. —

Wir haben jetzt noch zu reden von Zirkularsubstitutionen.

Ein Cyklus (sofern in ihm nicht schon sämtliche Elemente des
Denkbereiches vorkommen) ist noch keine „Substitution“.

(Ebensowenig die „Cyklensumme“ beim gleichen Vorbehalt.)