Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 30. Was bei Deutung von Funktion u. Argument als Relative zu beachten.

vertreten durch das Semikolon, welches uns eine relative Multiplikation
andeutet.

Für y = f(x) resp. i = f(j) resp. i = a(j) werden wir mithin
schreiben dürfen und in unsrer Disziplin zu schreiben haben:
14) i = f ; j resp. i = a ; j.

Selbstverständlich soll hiermit nicht darauf hingewirkt werden: die in
der Mathematik so bewährten und in der ganzen kultivirten Welt adoptirten
Bezeichnungsweisen durch andere, durch die in 14) vorgeschlagenen und
für unsre Disziplin ja unentbehrlichen Bezeichnungsweisen zu verdrängen
oder definitiv zu ersetzen — so wenig ich mich vermesse ein Gebirge um-
blasen zu wollen! Der Bezeichnungswechsel wird vielmehr immer nur ad
hoc und überall da vorzunehmen sein, wo von demselben eine Unterstützung,
ein Gewinn an Erkenntniss, sei es für die Mathematik, die Zahlen- und
Funktionenlehre, sei es für die Logik (im engern Sinne) zu erwarten steht.
Solcher Gelegenheiten werden sich schon in diesem Bande (so bei der
weitern Überarbeitung der Dedekind’schen Schrift) nicht wenige darbieten
und sie dürften mit der Zeit nach beiden Seiten immer zahlreichere werden.

Wir haben uns bei den bisherigen Betrachtungen über Funktionen
— vornehmlich aus didaktischen Gründen — vielfach oder zumeist
von der geometrischen Evidenz leiten lassen. Es wird darum für
manches bereits Behauptete auch der analytische Beweis beizubringen,
weitres noch hinzuzufügen sein.

So vor allem dafür, dass, wenn a eine (durch A₁A₂ charakterisirte)
Funktion ist, uns a ; j stets ein Element vorstellen muss. [Dass die
Argumentwerte stets als Elemente vorgestellt werden müssen, ist bereits
als ausreichend begründet zu erachten.]

Dies ist nun aufgrund der mit A₁A₂ gegebnen Voraussetzung 1' ɟ ā = a
in der That leicht zu erhärten. Nennen wir nämlich:
a ; j = y, so ist ȳ = ā ɟ j̄ = ā ; j und ȳ ; 1 = ȳ, also wird
1' ɟ ȳ ; 1 = 1' ɟ ȳ = 1' ɟ ā ; j = (1' ɟ ā) ; j = a ; j = y
mit Rücksicht auf 27) S. 419 und die Voraussetzung. Damit ist gezeigt,
dass y die Charakteristik 7) S. 408 des Elementes: 1' ɟ ȳ ; 1 = y erfüllt,
wodurch wir die Berechtigung erlangen, den Namen y für a ; j durch einen
Elementbuchstaben i zu ersetzen, q. e. d.

War a „Funktion“, so musste, wie die Vergleichung von 5), 6)
mit 7), 8) erkennen lässt, ă als „Argument“ bezeichnet werden, denn
durch Vertauschung von a mit ă geht das eine Paar von Bedingungen
in das andere über — vergl. S. 562.

Kraft δ) wird nun namentlich noch hinzutreten der Satz:
Sub A₁A₂ (i = a ; j) = (j = ă ; i)
d. h. Ist i Funktion von j, so ist j Argument von i. Und vielleicht
andres mehr.