Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Elfte Vorlesung.

alle m ≠ k schon jeder Faktor des Π_m links ⋹ dem entsprechenden in
diesem Gliede rechts: b_{h m} + c_{m i} ⋹ e_{h m} + b_{h m} + c_{m i}, für m = k aber wenigstens
1 · e_{h k} ⋹ e_{h k} + b_{h k} + c_{k i} ist, q. e. d.

Endlich würden sich auch für unser x in 38) auf verschiedne Weise
wieder Grenzen ermitteln und mit diesen der gefundne exakte Wert des x
sich kontroliren lassen. Dass alle Kontrolen stimmen, wird das Zutrauen
in unser Schema 39) festigen.

Der Sonderfall b = 0 wird für die von uns beabsichtigten Anwen-
dungen der Formel 48) besonders wichtig und zeichnet sich dadurch aus,
dass in ihm die Summationen nach i sich (in geschlossner Form) „aus-
führen“ lassen. Zunächst entsteht bei Vornahme noch eines kleinen Buch-
stabenwechsels:
[Formel 1] ,
welcher gesuchte Wert y heisse. Nun wird:
0 ɟ (b ; i + 1') = ĭ ; b̆ ɟ 1' = ĭ ; (b̆ ɟ 1'), 0 ɟ (b + i) = ĭ ɟ b = ĭ ; (1' ɟ b)
— vergl. 27) des § 25, und 25). Darnach kommt resp.
y = Σ_ia ; i · ĭ ; (b̆ ɟ 1')c = Σ_iĭ · a{ĭ ; (1' ɟ b)} ; c = Σ_ia ; {(b̆ ɟ 1') ; i}c · ĭ
— erstres wegen 26) des § 25. Der Wert der ersten Summe lässt sich
sogleich nach meinem Satze 14) ausgerechnet hinschreiben als a ; (b̆ ɟ 1')c.
Und für den (zweiten oder) dritten Summenausdruck das Summations-
problem sogleich verallgemeinernd haben wir überdies den Satz:
49_b) Σ_ia ; (b ; i)c · ĭ = a ; bc,
der mit
L_{h k} = Σ_{i l m}a_{h l}b_{l m}i_{m k}c_{l k}i_{k h} = Σ_{i l m}a_{h l}b_{l m}1'_{i m}c_{l k}1'_{i k} = Σ_la_{h l}b_{l k}c_{l k} = R_{h k}
sich auch unmittelbar beweist.

Nach seinem Schema ergibt sich der gleiche Ausdruck für y wie
vorhin, sodass doppelt gefunden ist:
50) [Formel 2]

Wir schreiten nunmehr zur Nutzanwendung auf unsre Inversionsprobleme;
sie wird uns beim zweiten ein sehr wichtiges Ergebniss liefern.

Aufgabe 14. Gesucht sei
51) [Formel 3] .
Daraus geht dann, indem man nur ac ; b für a setzt, mit Leichtigkeit auch
der Wert des Produktes
[Formel 4] hervor, indem in der That dadurch a · c ; b in ac ; b · c ; b = ac ; b verwandelt
wird — wogegen y aus dem letzten Produkte abzuleiten nur bedingungs-
weise möglich sein würde. Wir nehmen daher die Aufgabe besser in ihrer
obigen Form in Angriff.