indem der Faktor un beim letzten Gliede gegen das erste unterdrückt werden durfte. Wir erhalten folglich: x = a ; 1'b, indem das noch rechterhand hinzutretende
[Formel 1]
nach dem vorhergehenden Ergebnisse verschwindet. Insbesondre ist:
[Formel 2]
. -- Beachtung verdient, dass ungeachtet der durch die Klammerstellung be- dingten Verschiedenheit der vorliegenden Aufgabe mit dem Korollar zu Aufg. 8 das Endergebniss bei beiden das nämliche ist.
Man kann auch den gefundenen Wert sogleich als eine untere Grenze für x erkennen, indem
[Formel 3]
nach Peirce's Th. 1), wegen auu aber yx sein muss.
Dieselbe untere Grenze kann man auch mittelst:
[Formel 4]
daraus gewinnen, dass nach dem Aussagenschema o) S. 41 sein muss:
[Formel 5]
. Da nun Puh k = 0 und, wie wir unter der nächsten Auf- gabe zeigen, P(uh k + unh l) = 1'k l ist, so folgt: Slah lbl k1'l k = (a ; 1'b)h kxh k. [Der untern liesse auch eine obere Grenze für x sich zugesellen aus der Überlegung, dass aun ; ba ; b · un ; b, wonach sich ergibt: xa ; b · 1 ; b1' = = a ; b ; 1'b, und nebenbei der Satz gelten muss: a ; 1'ba ; b ; 1'b, der unschwer auch direkt erweislich. Indessen haben wir ja bereits die untere Grenze als den exakten Wert erkannt.]
Aufgabe 12. Gesucht
[Formel 6]
.
Diese ist von schwierigerer Art. Ohne weitres gelingt ihre Lösung nur für gewisse partikulare Fälle, wie
[Formel 7]
deren Ergebniss man nach dem Bisherigen leicht daraus gewinnt: weil das zweite Glied des allgemeinen Faktors hier zerfällt -- in (un j 0) · 1 ; b resp. (un j a) · 1 ; b1' -- wonach denn auch der allgemeine Faktor selbst, und dessen P zerfällbar. Das letzte Ergebniss entsteht durch multiplikative Vereinigung von 0 j (a + 1') mit 1 ; b1', welches = 0 j (b + 0').
Ein wichtiger Partikularfall ferner, wo die Lösung noch leicht gelingt, ist der Fall b = i.
Nennen wir nämlich:
[Formel 8]
, und behandeln zunächst diese Unteraufgabe, so werden wir haben:
[Formel 9]
.
Elfte Vorlesung.
indem der Faktor ū beim letzten Gliede gegen das erste unterdrückt werden durfte. Wir erhalten folglich: x = a ; 1'b, indem das noch rechterhand hinzutretende
[Formel 1]
nach dem vorhergehenden Ergebnisse verschwindet. Insbesondre ist:
[Formel 2]
. — Beachtung verdient, dass ungeachtet der durch die Klammerstellung be- dingten Verschiedenheit der vorliegenden Aufgabe mit dem Korollar zu Aufg. 8 das Endergebniss bei beiden das nämliche ist.
Man kann auch den gefundenen Wert sogleich als eine untere Grenze für x erkennen, indem
[Formel 3]
nach Peirce’s Th. 1), wegen au ⋹ u aber y ⋹ x sein muss.
Dieselbe untere Grenze kann man auch mittelst:
[Formel 4]
daraus gewinnen, dass nach dem Aussagenschema o) S. 41 sein muss:
[Formel 5]
. Da nun Πuh k = 0 und, wie wir unter der nächsten Auf- gabe zeigen, Π(uh k + ūh l) = 1'k l ist, so folgt: Σlah lbl k1'l k = (a ; 1'b)h k ⋹ xh k. [Der untern liesse auch eine obere Grenze für x sich zugesellen aus der Überlegung, dass aū ; b ⋹ a ; b · ū ; b, wonach sich ergibt: x ⋹ a ; b · 1 ; b1' = = a ; b ; 1'b, und nebenbei der Satz gelten muss: a ; 1'b ⋹ a ; b ; 1'b, der unschwer auch direkt erweislich. Indessen haben wir ja bereits die untere Grenze als den exakten Wert erkannt.]
Aufgabe 12. Gesucht
[Formel 6]
.
Diese ist von schwierigerer Art. Ohne weitres gelingt ihre Lösung nur für gewisse partikulare Fälle, wie
[Formel 7]
deren Ergebniss man nach dem Bisherigen leicht daraus gewinnt: weil das zweite Glied des allgemeinen Faktors hier zerfällt — in (ū ɟ 0) · 1 ; b resp. (ū ɟ a) · 1 ; b1' — wonach denn auch der allgemeine Faktor selbst, und dessen Π zerfällbar. Das letzte Ergebniss entsteht durch multiplikative Vereinigung von 0 ɟ (a + 1') mit 1 ; b1', welches = 0 ɟ (b + 0').
Ein wichtiger Partikularfall ferner, wo die Lösung noch leicht gelingt, ist der Fall b = i.
Nennen wir nämlich:
[Formel 8]
, und behandeln zunächst diese Unteraufgabe, so werden wir haben:
[Formel 9]
.
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[510/0524]
Elfte Vorlesung.
indem der Faktor ū beim letzten Gliede gegen das erste unterdrückt werden
durfte. Wir erhalten folglich:
x = a ; 1'b,
indem das noch rechterhand hinzutretende [FORMEL] nach dem vorhergehenden
Ergebnisse verschwindet. Insbesondre ist:
[FORMEL]. —
Beachtung verdient, dass ungeachtet der durch die Klammerstellung be-
dingten Verschiedenheit der vorliegenden Aufgabe mit dem Korollar zu
Aufg. 8 das Endergebniss bei beiden das nämliche ist.
Man kann auch den gefundenen Wert sogleich als eine untere Grenze
für x erkennen, indem
[FORMEL] nach Peirce’s Th. 1), wegen au ⋹ u aber y ⋹ x sein muss.
Dieselbe untere Grenze kann man auch mittelst:
[FORMEL] daraus gewinnen, dass nach dem Aussagenschema o) S. 41 sein muss:
[FORMEL]. Da nun Πuh k = 0 und, wie wir unter der nächsten Auf-
gabe zeigen,
Π(uh k + ūh l) = 1'k l ist, so folgt: Σlah lbl k1'l k = (a ; 1'b)h k ⋹ xh k.
[Der untern liesse auch eine obere Grenze für x sich zugesellen aus der
Überlegung, dass aū ; b ⋹ a ; b · ū ; b, wonach sich ergibt: x ⋹ a ; b · 1 ; b1' =
= a ; b ; 1'b, und nebenbei der Satz gelten muss: a ; 1'b ⋹ a ; b ; 1'b, der
unschwer auch direkt erweislich. Indessen haben wir ja bereits die untere
Grenze als den exakten Wert erkannt.]
Aufgabe 12. Gesucht [FORMEL].
Diese ist von schwierigerer Art. Ohne weitres gelingt ihre Lösung
nur für gewisse partikulare Fälle, wie
[FORMEL] deren Ergebniss man nach dem Bisherigen leicht daraus gewinnt: weil das
zweite Glied des allgemeinen Faktors hier zerfällt — in (ū ɟ 0) · 1 ; b resp.
(ū ɟ a) · 1 ; b1' — wonach denn auch der allgemeine Faktor selbst, und
dessen Π zerfällbar. Das letzte Ergebniss entsteht durch multiplikative
Vereinigung von 0 ɟ (a + 1') mit 1 ; b1', welches = 0 ɟ (b + 0').
Ein wichtiger Partikularfall ferner, wo die Lösung noch leicht gelingt,
ist der Fall b = i.
Nennen wir nämlich:
[FORMEL],
und behandeln zunächst diese Unteraufgabe, so werden wir haben:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 510. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/524>, abgerufen am 17.05.2024.
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