Aussage, dass Au für gewisse u (innerhalb dieser Erstreckung) zutrifft, mithin dass es mindestens ein u im Erstreckungsbereiche gibt, für welches Au zutrifft.
Hienach wird der Aussage
[Formel 1]
der Wahrheitswert 1 immer dann und nur dann zukommen, wenn, für jedes der gedachten u, Au = 1 ist, der Wahrheitswert 0 dagegen, falls es unter jenen mindestens ein u gibt, für welches Au nicht zutrifft, wo also Au = 0 ist.
Der Aussage
[Formel 2]
wird der Wahrheitswert 1 schon zukommen, wenn es im Erstreckungsbereiche nur überhaupt ein u gibt, für welches Au = 1 ist, dagegen wird ihr der Wahrheitswert 0 dann und nur dann zukommen, wenn es daselbst kein solches u gibt, d. h. wenn für jedes u des Erstreckungsbereiches Au nicht zutrifft, Au = 0 ist.
Stellt demnach v einen Wert vor, beliebig hervorgehoben aus dem Erstreckungsbereiche für u, so müssen wir haben:
[Formel 3]
oder kürzer: a)
[Formel 4]
womit auch gegeben ist: b)
[Tabelle]
. Letzteres zeigt, dass für jeden Wert (v oder u) aus dem Erstreckungs- bereiche der sogenannte "allgemeine Faktor" Au des Aussagen-P auch angesehen und hingestellt werden kann als ein wirklicher ("eigent- licher") "Faktor" des ohne P-zeichen als ein "binäres" (zweifaktoriges) bereits anderweitig erklärten Aussagen-"Produktes" im engsten Sinne; und ebenso, dass das sog. "allgemeine Glied" einer Aussagen-S auch wirklicher (oder "eigentlicher") Summand ist einer binomischen Aus- sagensumme, d. h. einer Aussagensumme im engsten Sinne, als welche sich eben unsre Aussagen-S jederzeit muss hinstellen lassen.
Ferner erkennt man im Hinblick auf das oben Gesagte als un- mittelbar einleuchtend, dass die Negation an unsern Aussagen-P und S nach folgenden Schemata "auszuführen" ist: g)
[Tabelle]
.
Und in dem hier bethätigten "dictum de omni et de nullo", durch welches wir die sämtlichen vorstehenden Formeln gewinnen (deren An- erkennung wir ja fordern müssen), ist nicht etwa ein wirkliches "Axiom" zu erblicken; vielmehr hat das dictum nur den Charakter eines "Prin-
§ 3. Aussagenschemata.
Aussage, dass Au für gewisse u (innerhalb dieser Erstreckung) zutrifft, mithin dass es mindestens ein u im Erstreckungsbereiche gibt, für welches Au zutrifft.
Hienach wird der Aussage
[Formel 1]
der Wahrheitswert 1 immer dann und nur dann zukommen, wenn, für jedes der gedachten u, Au = 1 ist, der Wahrheitswert 0 dagegen, falls es unter jenen mindestens ein u gibt, für welches Au nicht zutrifft, wo also Au = 0 ist.
Der Aussage
[Formel 2]
wird der Wahrheitswert 1 schon zukommen, wenn es im Erstreckungsbereiche nur überhaupt ein u gibt, für welches Au = 1 ist, dagegen wird ihr der Wahrheitswert 0 dann und nur dann zukommen, wenn es daselbst kein solches u gibt, d. h. wenn für jedes u des Erstreckungsbereiches Au nicht zutrifft, Au = 0 ist.
Stellt demnach v einen Wert vor, beliebig hervorgehoben aus dem Erstreckungsbereiche für u, so müssen wir haben:
[Formel 3]
oder kürzer: α)
[Formel 4]
womit auch gegeben ist: β)
[Tabelle]
. Letzteres zeigt, dass für jeden Wert (v oder u) aus dem Erstreckungs- bereiche der sogenannte „allgemeine Faktor“ Au des Aussagen-Π auch angesehen und hingestellt werden kann als ein wirklicher („eigent- licher“) „Faktor“ des ohne Π-zeichen als ein „binäres“ (zweifaktoriges) bereits anderweitig erklärten Aussagen-„Produktes“ im engsten Sinne; und ebenso, dass das sog. „allgemeine Glied“ einer Aussagen-Σ auch wirklicher (oder „eigentlicher“) Summand ist einer binomischen Aus- sagensumme, d. h. einer Aussagensumme im engsten Sinne, als welche sich eben unsre Aussagen-Σ jederzeit muss hinstellen lassen.
Ferner erkennt man im Hinblick auf das oben Gesagte als un- mittelbar einleuchtend, dass die Negation an unsern Aussagen-Π und Σ nach folgenden Schemata „auszuführen“ ist: γ)
[Tabelle]
.
Und in dem hier bethätigten „dictum de omni et de nullo“, durch welches wir die sämtlichen vorstehenden Formeln gewinnen (deren An- erkennung wir ja fordern müssen), ist nicht etwa ein wirkliches „Axiom“ zu erblicken; vielmehr hat das dictum nur den Charakter eines „Prin-
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[37/0051]
§ 3. Aussagenschemata.
Aussage, dass Au für gewisse u (innerhalb dieser Erstreckung) zutrifft,
mithin dass es mindestens ein u im Erstreckungsbereiche gibt, für
welches Au zutrifft.
Hienach wird der Aussage [FORMEL] der Wahrheitswert 1 immer dann
und nur dann zukommen, wenn, für jedes der gedachten u, Au = 1 ist,
der Wahrheitswert 0 dagegen, falls es unter jenen mindestens ein u
gibt, für welches Au nicht zutrifft, wo also Au = 0 ist.
Der Aussage [FORMEL] wird der Wahrheitswert 1 schon zukommen,
wenn es im Erstreckungsbereiche nur überhaupt ein u gibt, für welches
Au = 1 ist, dagegen wird ihr der Wahrheitswert 0 dann und nur
dann zukommen, wenn es daselbst kein solches u gibt, d. h. wenn für
jedes u des Erstreckungsbereiches Au nicht zutrifft, Au = 0 ist.
Stellt demnach v einen Wert vor, beliebig hervorgehoben aus dem
Erstreckungsbereiche für u, so müssen wir haben:
[FORMEL] oder kürzer:
α) [FORMEL]
womit auch gegeben ist:
β)
.
Letzteres zeigt, dass für jeden Wert (v oder u) aus dem Erstreckungs-
bereiche der sogenannte „allgemeine Faktor“ Au des Aussagen-Π auch
angesehen und hingestellt werden kann als ein wirklicher („eigent-
licher“) „Faktor“ des ohne Π-zeichen als ein „binäres“ (zweifaktoriges)
bereits anderweitig erklärten Aussagen-„Produktes“ im engsten Sinne;
und ebenso, dass das sog. „allgemeine Glied“ einer Aussagen-Σ auch
wirklicher (oder „eigentlicher“) Summand ist einer binomischen Aus-
sagensumme, d. h. einer Aussagensumme im engsten Sinne, als welche
sich eben unsre Aussagen-Σ jederzeit muss hinstellen lassen.
Ferner erkennt man im Hinblick auf das oben Gesagte als un-
mittelbar einleuchtend, dass die Negation an unsern Aussagen-Π und Σ
nach folgenden Schemata „auszuführen“ ist:
γ)
.
Und in dem hier bethätigten „dictum de omni et de nullo“, durch
welches wir die sämtlichen vorstehenden Formeln gewinnen (deren An-
erkennung wir ja fordern müssen), ist nicht etwa ein wirkliches „Axiom“
zu erblicken; vielmehr hat das dictum nur den Charakter eines „Prin-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 37. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/51>, abgerufen am 24.11.2024.
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