Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

Zehnte Vorlesung.

leisten ein Leichtes, kann jedoch in allen vier Fällen -- eleganter --
auch mittelbar geleistet werden nach dem Vorbilde:
i ; j = (1 ; i) ; j = 1 ; i ; j = 1 ; (i ; 1)j = 1 ; ij,
wobei von dem Satze 6) des § 18 -- vergleiche auch 21) der Formel-
sammlung des übernächsten Paragraphen -- Gebrauch gemacht wurde.

Nunmehr ist also blos noch die Äquivalenz der Relative mit den Aus-
sagen zu erhärten.

Auf den ersten Blick ist klar, dass für j = i auch sein muss:
1 ; ij = 1 ; i = 1, 1 ; ijn = 1 ; iin = 1 ; 0 = 0 = 1 ; inj.
Und dass für j i umgekehrt:
1 ; ij = 0, 1 ; ijn = 1 = 1 ; inj
sein muss, beruht auf dem Hülfssatze:
16) (i j) = (ij = 0) = (ijn = i) = (inj = j) = (i jn) = (j in) =
= (in + jn = 1) = (in + j = in) = (i + jn = jn),
dessen sämtliche Formen aus der ersten Äquivalenz schon durch identische
Umformungen sich ergeben.

Zum Beweise jener haben wir vorwärts:
(ij)h k = ih kjh k = 1'i h1'j h = 0,
weil nach der Voraussetzung i j das h nicht mit i sowol als j zusammen-
fallen kann, folglich von den beiden 1'-Koeffizienten, deren Produkt in Be-
tracht kommt, mindestens einer verschwindet. Dass umgekehrt aus ij = 0
auch rückwärts i j folgt, ergibt sich indirekt, weil die gegenteilige An-
nahme zu dem Widerspruch i = 0 mit 5) führen würde. --

Nunmehr kann auch für 1 ; ij = 1 nur j = i sein, wie leicht apago-
gisch zu zeigen, weil für j i bewiesen erscheint, dass 1 ; ij = 1 ; 0 = 0
sein muss.

Endlich dass stets 1 ; injn = 1 sein muss, folgt für j = i schon als 1 ; in = 1
nach 2), überhaupt aber aus der Koeffizienteneviden wegen:
(1 ; injn)h k = Slinl kjnl k = Sl0'i l0'j l = 1*,
sobald der Denkbereich mindestens drei Elemente enthält, weil es dann
auch ein von i und j verschiedenes l geben wird, für welches der zugehörige
Summand der Sl gleich 1 ist.

Hiemit sind denn also sämtliche Formeln 14) und 15) bewiesen.

Zugleich sind mit 14, 15a & b) für eine Anzahl der identischen Knüpfungs-
ergebnisse zwischen i, j und deren Verwandten die primären relativen
Knüpfungen mit den absoluten Moduln ermittelt -- wozu die übrigen,
nebenbei gesagt, weiter unten ihre Erledigung finden.

Bisher haben wir i lediglich als den "Einzeiler" in's Auge gefasst,
und von ihm und seinen Verwandten die relativen Knüpfungen studirt
mit den Moduln sowol als mit ihres(jener)gleichen.

Zehnte Vorlesung.

leisten ein Leichtes, kann jedoch in allen vier Fällen — eleganter —
auch mittelbar geleistet werden nach dem Vorbilde:
ĭ ; j = (1 ; ĭ) ; j = 1 ; ĭ ; j = 1 ; (i ; 1)j = 1 ; ij,
wobei von dem Satze 6) des § 18 — vergleiche auch 21) der Formel-
sammlung des übernächsten Paragraphen — Gebrauch gemacht wurde.

Nunmehr ist also blos noch die Äquivalenz der Relative mit den Aus-
sagen zu erhärten.

Auf den ersten Blick ist klar, dass für j = i auch sein muss:
1 ; ij = 1 ; i = 1, 1 ; ij̄ = 1 ; iī = 1 ; 0 = 0 = 1 ; īj.
Und dass für j ≠ i umgekehrt:
1 ; ij = 0, 1 ; ij̄ = 1 = 1 ; īj
sein muss, beruht auf dem Hülfssatze:
16) (i ≠ j) = (ij = 0) = (ij̄ = i) = (īj = j) = (i ⋹ j̄) = (j ⋹ ī) =
= (ī + j̄ = 1) = (ī + j = ī) = (i + j̄ = j̄),
dessen sämtliche Formen aus der ersten Äquivalenz schon durch identische
Umformungen sich ergeben.

Zum Beweise jener haben wir vorwärts:
(ij)h k = ih kjh k = 1'i h1'j h = 0,
weil nach der Voraussetzung i ≠ j das h nicht mit i sowol als j zusammen-
fallen kann, folglich von den beiden 1'-Koeffizienten, deren Produkt in Be-
tracht kommt, mindestens einer verschwindet. Dass umgekehrt aus ij = 0
auch rückwärts i ≠ j folgt, ergibt sich indirekt, weil die gegenteilige An-
nahme zu dem Widerspruch i = 0 mit 5) führen würde. —

Nunmehr kann auch für 1 ; ij = 1 nur j = i sein, wie leicht apago-
gisch zu zeigen, weil für j ≠ i bewiesen erscheint, dass 1 ; ij = 1 ; 0 = 0
sein muss.

Endlich dass stets 1 ; īj̄ = 1 sein muss, folgt für j = i schon als 1 ; ī = 1
nach 2), überhaupt aber aus der Koeffizienteneviden wegen:
(1 ; īj̄)h k = Σlīl kj̄l k = Σl0'i l0'j l = 1*,
sobald der Denkbereich mindestens drei Elemente enthält, weil es dann
auch ein von i und j verschiedenes l geben wird, für welches der zugehörige
Summand der Σl gleich 1 ist.

Hiemit sind denn also sämtliche Formeln 14) und 15) bewiesen.

Zugleich sind mit 14, 15a & b) für eine Anzahl der identischen Knüpfungs-
ergebnisse zwischen i, j und deren Verwandten die primären relativen
Knüpfungen mit den absoluten Moduln ermittelt — wozu die übrigen,
nebenbei gesagt, weiter unten ihre Erledigung finden.

Bisher haben wir i lediglich als den „Einzeiler“ in’s Auge gefasst,
und von ihm und seinen Verwandten die relativen Knüpfungen studirt
mit den Moduln sowol als mit ihres(jener)gleichen.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0428" n="414"/><fw place="top" type="header">Zehnte Vorlesung.</fw><lb/>
leisten ein Leichtes, kann jedoch in allen vier Fällen &#x2014; eleganter &#x2014;<lb/>
auch mittelbar geleistet werden nach dem Vorbilde:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">i&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">j</hi> = (1 ; <hi rendition="#i">i&#x0306;</hi>) ; <hi rendition="#i">j</hi> = 1 ; <hi rendition="#i">i&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">j</hi> = 1 ; (<hi rendition="#i">i</hi> ; 1)<hi rendition="#i">j</hi> = 1 ; <hi rendition="#i">ij</hi>,</hi><lb/>
wobei von dem Satze 6) des § 18 &#x2014; vergleiche auch 21) der Formel-<lb/>
sammlung des übernächsten Paragraphen &#x2014; Gebrauch gemacht wurde.</p><lb/>
          <p>Nunmehr ist also blos noch die Äquivalenz der Relative mit den Aus-<lb/>
sagen zu erhärten.</p><lb/>
          <p>Auf den ersten Blick ist klar, dass für <hi rendition="#i">j</hi> = <hi rendition="#i">i</hi> auch sein muss:<lb/><hi rendition="#c">1 ; <hi rendition="#i">ij</hi> = 1 ; <hi rendition="#i">i</hi> = 1, 1 ; <hi rendition="#i">ij&#x0304;</hi> = 1 ; <hi rendition="#i">ii&#x0304;</hi> = 1 ; 0 = 0 = 1 ; <hi rendition="#i">i&#x0304;j</hi>.</hi><lb/>
Und dass für <hi rendition="#i">j</hi> &#x2260; <hi rendition="#i">i</hi> umgekehrt:<lb/><hi rendition="#c">1 ; <hi rendition="#i">ij</hi> = 0, 1 ; <hi rendition="#i">ij&#x0304;</hi> = 1 = 1 ; <hi rendition="#i">i&#x0304;j</hi></hi><lb/>
sein muss, beruht auf dem <hi rendition="#g">Hülfssatze</hi>:<lb/>
16) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">i</hi> &#x2260; <hi rendition="#i">j</hi>) = (<hi rendition="#i">ij</hi> = 0) = (<hi rendition="#i">ij&#x0304;</hi> = <hi rendition="#i">i</hi>) = (<hi rendition="#i">i&#x0304;j</hi> = <hi rendition="#i">j</hi>) = (<hi rendition="#i">i</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">j&#x0304;</hi>) = (<hi rendition="#i">j</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">i&#x0304;</hi>) =<lb/>
= (<hi rendition="#i">i&#x0304;</hi> + <hi rendition="#i">j&#x0304;</hi> = 1) = (<hi rendition="#i">i&#x0304;</hi> + <hi rendition="#i">j</hi> = <hi rendition="#i">i&#x0304;</hi>) = (<hi rendition="#i">i</hi> + <hi rendition="#i">j&#x0304;</hi> = <hi rendition="#i">j&#x0304;</hi>),</hi><lb/>
dessen sämtliche Formen aus der ersten Äquivalenz schon durch identische<lb/>
Umformungen sich ergeben.</p><lb/>
          <p>Zum <hi rendition="#g">Beweise</hi> jener haben wir vorwärts:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">ij</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">h k</hi></hi> = <hi rendition="#i">i<hi rendition="#sub">h k</hi>j<hi rendition="#sub">h k</hi></hi> = 1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i h</hi></hi>1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">j h</hi></hi> = 0,</hi><lb/>
weil nach der Voraussetzung <hi rendition="#i">i</hi> &#x2260; <hi rendition="#i">j</hi> das <hi rendition="#i">h</hi> nicht mit <hi rendition="#i">i</hi> sowol als <hi rendition="#i">j</hi> zusammen-<lb/>
fallen kann, folglich von den beiden 1'-Koeffizienten, deren Produkt in Be-<lb/>
tracht kommt, mindestens einer verschwindet. Dass umgekehrt aus <hi rendition="#i">ij</hi> = 0<lb/>
auch rückwärts <hi rendition="#i">i</hi> &#x2260; <hi rendition="#i">j</hi> folgt, ergibt sich indirekt, weil die gegenteilige An-<lb/>
nahme zu dem Widerspruch <hi rendition="#i">i</hi> = 0 mit 5) führen würde. &#x2014;</p><lb/>
          <p>Nunmehr kann auch für 1 ; <hi rendition="#i">ij</hi> = 1 nur <hi rendition="#i">j</hi> = <hi rendition="#i">i</hi> sein, wie leicht apago-<lb/>
gisch zu zeigen, weil für <hi rendition="#i">j</hi> &#x2260; <hi rendition="#i">i</hi> bewiesen erscheint, dass 1 ; <hi rendition="#i">ij</hi> = 1 ; 0 = 0<lb/>
sein muss.</p><lb/>
          <p>Endlich dass stets 1 ; <hi rendition="#i">i&#x0304;j&#x0304;</hi> = 1 sein muss, folgt für <hi rendition="#i">j</hi> = <hi rendition="#i">i</hi> schon als 1 ; <hi rendition="#i">i&#x0304;</hi> = 1<lb/>
nach 2), überhaupt aber aus der Koeffizienteneviden wegen:<lb/><hi rendition="#c">(1 ; <hi rendition="#i">i&#x0304;j&#x0304;</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">h k</hi></hi> = <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">l</hi>i&#x0304;<hi rendition="#sub">l k</hi>j&#x0304;<hi rendition="#sub">l k</hi></hi> = <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">l</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i l</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">j l</hi></hi> = 1*,</hi><lb/>
sobald der Denkbereich mindestens drei Elemente enthält, weil es dann<lb/>
auch ein von <hi rendition="#i">i und j</hi> verschiedenes <hi rendition="#i">l</hi> geben wird, für welches der zugehörige<lb/>
Summand der <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">l</hi></hi> gleich 1 ist.</p><lb/>
          <p>Hiemit sind denn also sämtliche Formeln 14) und 15) bewiesen.</p><lb/>
          <p>Zugleich sind mit 14, 15<hi rendition="#sub">a &amp; b</hi>) für eine Anzahl der identischen Knüpfungs-<lb/>
ergebnisse zwischen <hi rendition="#i">i</hi>, <hi rendition="#i">j</hi> und deren Verwandten die primären relativen<lb/>
Knüpfungen mit den absoluten Moduln ermittelt &#x2014; wozu die übrigen,<lb/>
nebenbei gesagt, weiter unten ihre Erledigung finden.</p><lb/>
          <p>Bisher haben wir <hi rendition="#i">i</hi> lediglich als den &#x201E;<hi rendition="#i">Einzeiler</hi>&#x201C; in&#x2019;s Auge gefasst,<lb/>
und von ihm und seinen Verwandten die relativen Knüpfungen studirt<lb/>
mit den Moduln sowol als mit ihres(jener)gleichen.</p><lb/>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[414/0428] Zehnte Vorlesung. leisten ein Leichtes, kann jedoch in allen vier Fällen — eleganter — auch mittelbar geleistet werden nach dem Vorbilde: ĭ ; j = (1 ; ĭ) ; j = 1 ; ĭ ; j = 1 ; (i ; 1)j = 1 ; ij, wobei von dem Satze 6) des § 18 — vergleiche auch 21) der Formel- sammlung des übernächsten Paragraphen — Gebrauch gemacht wurde. Nunmehr ist also blos noch die Äquivalenz der Relative mit den Aus- sagen zu erhärten. Auf den ersten Blick ist klar, dass für j = i auch sein muss: 1 ; ij = 1 ; i = 1, 1 ; ij̄ = 1 ; iī = 1 ; 0 = 0 = 1 ; īj. Und dass für j ≠ i umgekehrt: 1 ; ij = 0, 1 ; ij̄ = 1 = 1 ; īj sein muss, beruht auf dem Hülfssatze: 16) (i ≠ j) = (ij = 0) = (ij̄ = i) = (īj = j) = (i ⋹ j̄) = (j ⋹ ī) = = (ī + j̄ = 1) = (ī + j = ī) = (i + j̄ = j̄), dessen sämtliche Formen aus der ersten Äquivalenz schon durch identische Umformungen sich ergeben. Zum Beweise jener haben wir vorwärts: (ij)h k = ih kjh k = 1'i h1'j h = 0, weil nach der Voraussetzung i ≠ j das h nicht mit i sowol als j zusammen- fallen kann, folglich von den beiden 1'-Koeffizienten, deren Produkt in Be- tracht kommt, mindestens einer verschwindet. Dass umgekehrt aus ij = 0 auch rückwärts i ≠ j folgt, ergibt sich indirekt, weil die gegenteilige An- nahme zu dem Widerspruch i = 0 mit 5) führen würde. — Nunmehr kann auch für 1 ; ij = 1 nur j = i sein, wie leicht apago- gisch zu zeigen, weil für j ≠ i bewiesen erscheint, dass 1 ; ij = 1 ; 0 = 0 sein muss. Endlich dass stets 1 ; īj̄ = 1 sein muss, folgt für j = i schon als 1 ; ī = 1 nach 2), überhaupt aber aus der Koeffizienteneviden wegen: (1 ; īj̄)h k = Σlīl kj̄l k = Σl0'i l0'j l = 1*, sobald der Denkbereich mindestens drei Elemente enthält, weil es dann auch ein von i und j verschiedenes l geben wird, für welches der zugehörige Summand der Σl gleich 1 ist. Hiemit sind denn also sämtliche Formeln 14) und 15) bewiesen. Zugleich sind mit 14, 15a & b) für eine Anzahl der identischen Knüpfungs- ergebnisse zwischen i, j und deren Verwandten die primären relativen Knüpfungen mit den absoluten Moduln ermittelt — wozu die übrigen, nebenbei gesagt, weiter unten ihre Erledigung finden. Bisher haben wir i lediglich als den „Einzeiler“ in’s Auge gefasst, und von ihm und seinen Verwandten die relativen Knüpfungen studirt mit den Moduln sowol als mit ihres(jener)gleichen.

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/428
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 414. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/428>, abgerufen am 18.05.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.