leisten ein Leichtes, kann jedoch in allen vier Fällen -- eleganter -- auch mittelbar geleistet werden nach dem Vorbilde: i ; j = (1 ; i) ; j = 1 ; i ; j = 1 ; (i ; 1)j = 1 ; ij, wobei von dem Satze 6) des § 18 -- vergleiche auch 21) der Formel- sammlung des übernächsten Paragraphen -- Gebrauch gemacht wurde.
Nunmehr ist also blos noch die Äquivalenz der Relative mit den Aus- sagen zu erhärten.
Auf den ersten Blick ist klar, dass für j = i auch sein muss: 1 ; ij = 1 ; i = 1, 1 ; ijn = 1 ; iin = 1 ; 0 = 0 = 1 ; inj. Und dass für ji umgekehrt: 1 ; ij = 0, 1 ; ijn = 1 = 1 ; inj sein muss, beruht auf dem Hülfssatze: 16) (ij) = (ij = 0) = (ijn = i) = (inj = j) = (ijn) = (jin) = = (in + jn = 1) = (in + j = in) = (i + jn = jn), dessen sämtliche Formen aus der ersten Äquivalenz schon durch identische Umformungen sich ergeben.
Zum Beweise jener haben wir vorwärts: (ij)h k = ih kjh k = 1'i h1'j h = 0, weil nach der Voraussetzung ij das h nicht mit i sowol als j zusammen- fallen kann, folglich von den beiden 1'-Koeffizienten, deren Produkt in Be- tracht kommt, mindestens einer verschwindet. Dass umgekehrt aus ij = 0 auch rückwärts ij folgt, ergibt sich indirekt, weil die gegenteilige An- nahme zu dem Widerspruch i = 0 mit 5) führen würde. --
Nunmehr kann auch für 1 ; ij = 1 nur j = i sein, wie leicht apago- gisch zu zeigen, weil für ji bewiesen erscheint, dass 1 ; ij = 1 ; 0 = 0 sein muss.
Endlich dass stets 1 ; injn = 1 sein muss, folgt für j = i schon als 1 ; in = 1 nach 2), überhaupt aber aus der Koeffizienteneviden wegen: (1 ; injn)h k = Slinl kjnl k = Sl0'i l0'j l = 1*, sobald der Denkbereich mindestens drei Elemente enthält, weil es dann auch ein von i und j verschiedenes l geben wird, für welches der zugehörige Summand der Sl gleich 1 ist.
Hiemit sind denn also sämtliche Formeln 14) und 15) bewiesen.
Zugleich sind mit 14, 15a & b) für eine Anzahl der identischen Knüpfungs- ergebnisse zwischen i, j und deren Verwandten die primären relativen Knüpfungen mit den absoluten Moduln ermittelt -- wozu die übrigen, nebenbei gesagt, weiter unten ihre Erledigung finden.
Bisher haben wir i lediglich als den "Einzeiler" in's Auge gefasst, und von ihm und seinen Verwandten die relativen Knüpfungen studirt mit den Moduln sowol als mit ihres(jener)gleichen.
Zehnte Vorlesung.
leisten ein Leichtes, kann jedoch in allen vier Fällen — eleganter — auch mittelbar geleistet werden nach dem Vorbilde: ĭ ; j = (1 ; ĭ) ; j = 1 ; ĭ ; j = 1 ; (i ; 1)j = 1 ; ij, wobei von dem Satze 6) des § 18 — vergleiche auch 21) der Formel- sammlung des übernächsten Paragraphen — Gebrauch gemacht wurde.
Nunmehr ist also blos noch die Äquivalenz der Relative mit den Aus- sagen zu erhärten.
Auf den ersten Blick ist klar, dass für j = i auch sein muss: 1 ; ij = 1 ; i = 1, 1 ; ij̄ = 1 ; iī = 1 ; 0 = 0 = 1 ; īj. Und dass für j ≠ i umgekehrt: 1 ; ij = 0, 1 ; ij̄ = 1 = 1 ; īj sein muss, beruht auf dem Hülfssatze: 16) (i ≠ j) = (ij = 0) = (ij̄ = i) = (īj = j) = (i ⋹ j̄) = (j ⋹ ī) = = (ī + j̄ = 1) = (ī + j = ī) = (i + j̄ = j̄), dessen sämtliche Formen aus der ersten Äquivalenz schon durch identische Umformungen sich ergeben.
Zum Beweise jener haben wir vorwärts: (ij)h k = ih kjh k = 1'i h1'j h = 0, weil nach der Voraussetzung i ≠ j das h nicht mit i sowol als j zusammen- fallen kann, folglich von den beiden 1'-Koeffizienten, deren Produkt in Be- tracht kommt, mindestens einer verschwindet. Dass umgekehrt aus ij = 0 auch rückwärts i ≠ j folgt, ergibt sich indirekt, weil die gegenteilige An- nahme zu dem Widerspruch i = 0 mit 5) führen würde. —
Nunmehr kann auch für 1 ; ij = 1 nur j = i sein, wie leicht apago- gisch zu zeigen, weil für j ≠ i bewiesen erscheint, dass 1 ; ij = 1 ; 0 = 0 sein muss.
Endlich dass stets 1 ; īj̄ = 1 sein muss, folgt für j = i schon als 1 ; ī = 1 nach 2), überhaupt aber aus der Koeffizienteneviden wegen: (1 ; īj̄)h k = Σlīl kj̄l k = Σl0'i l0'j l = 1*, sobald der Denkbereich mindestens drei Elemente enthält, weil es dann auch ein von i und j verschiedenes l geben wird, für welches der zugehörige Summand der Σl gleich 1 ist.
Hiemit sind denn also sämtliche Formeln 14) und 15) bewiesen.
Zugleich sind mit 14, 15a & b) für eine Anzahl der identischen Knüpfungs- ergebnisse zwischen i, j und deren Verwandten die primären relativen Knüpfungen mit den absoluten Moduln ermittelt — wozu die übrigen, nebenbei gesagt, weiter unten ihre Erledigung finden.
Bisher haben wir i lediglich als den „Einzeiler“ in’s Auge gefasst, und von ihm und seinen Verwandten die relativen Knüpfungen studirt mit den Moduln sowol als mit ihres(jener)gleichen.
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[414/0428]
Zehnte Vorlesung.
leisten ein Leichtes, kann jedoch in allen vier Fällen — eleganter —
auch mittelbar geleistet werden nach dem Vorbilde:
ĭ ; j = (1 ; ĭ) ; j = 1 ; ĭ ; j = 1 ; (i ; 1)j = 1 ; ij,
wobei von dem Satze 6) des § 18 — vergleiche auch 21) der Formel-
sammlung des übernächsten Paragraphen — Gebrauch gemacht wurde.
Nunmehr ist also blos noch die Äquivalenz der Relative mit den Aus-
sagen zu erhärten.
Auf den ersten Blick ist klar, dass für j = i auch sein muss:
1 ; ij = 1 ; i = 1, 1 ; ij̄ = 1 ; iī = 1 ; 0 = 0 = 1 ; īj.
Und dass für j ≠ i umgekehrt:
1 ; ij = 0, 1 ; ij̄ = 1 = 1 ; īj
sein muss, beruht auf dem Hülfssatze:
16) (i ≠ j) = (ij = 0) = (ij̄ = i) = (īj = j) = (i ⋹ j̄) = (j ⋹ ī) =
= (ī + j̄ = 1) = (ī + j = ī) = (i + j̄ = j̄),
dessen sämtliche Formen aus der ersten Äquivalenz schon durch identische
Umformungen sich ergeben.
Zum Beweise jener haben wir vorwärts:
(ij)h k = ih kjh k = 1'i h1'j h = 0,
weil nach der Voraussetzung i ≠ j das h nicht mit i sowol als j zusammen-
fallen kann, folglich von den beiden 1'-Koeffizienten, deren Produkt in Be-
tracht kommt, mindestens einer verschwindet. Dass umgekehrt aus ij = 0
auch rückwärts i ≠ j folgt, ergibt sich indirekt, weil die gegenteilige An-
nahme zu dem Widerspruch i = 0 mit 5) führen würde. —
Nunmehr kann auch für 1 ; ij = 1 nur j = i sein, wie leicht apago-
gisch zu zeigen, weil für j ≠ i bewiesen erscheint, dass 1 ; ij = 1 ; 0 = 0
sein muss.
Endlich dass stets 1 ; īj̄ = 1 sein muss, folgt für j = i schon als 1 ; ī = 1
nach 2), überhaupt aber aus der Koeffizienteneviden wegen:
(1 ; īj̄)h k = Σlīl kj̄l k = Σl0'i l0'j l = 1*,
sobald der Denkbereich mindestens drei Elemente enthält, weil es dann
auch ein von i und j verschiedenes l geben wird, für welches der zugehörige
Summand der Σl gleich 1 ist.
Hiemit sind denn also sämtliche Formeln 14) und 15) bewiesen.
Zugleich sind mit 14, 15a & b) für eine Anzahl der identischen Knüpfungs-
ergebnisse zwischen i, j und deren Verwandten die primären relativen
Knüpfungen mit den absoluten Moduln ermittelt — wozu die übrigen,
nebenbei gesagt, weiter unten ihre Erledigung finden.
Bisher haben wir i lediglich als den „Einzeiler“ in’s Auge gefasst,
und von ihm und seinen Verwandten die relativen Knüpfungen studirt
mit den Moduln sowol als mit ihres(jener)gleichen.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 414. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/428>, abgerufen am 23.11.2024.
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