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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zehnte Vorlesung.

In Worten: Ein Einzeiler von einem Einzeiler ist immer der erste
Einzeiler und ein Einkolonner von einem Einkolonner ist immer der letzte
Einkolonner -- statt eines Terms aber kann hiebei auch auch dessen
Negation durchweg eintreten.

Den Beweis durch Herbeiführung der Koeffizientenevidenz zu leisten
ist leicht. Will man diese umgehen, so kann man auch schliessen:
i ; j = (i ; 1) ; j = i ; 1 ; j = i ; 1 · 1 ; j = i · 1 = i
-- gemäss 2), und 5) des § 11. Ganz ebenso ist i ; jn = i, in ; jn = in, in ; j = in
zu beweisen, woraus dann die übrigen Formeln der ersten Zeile von 10)
durch die Kontraposition folgen, und aus dieser die zweite Zeile durch
Konvertiren hervorgeht.

Bei den 8 Knüpfungen der zweiten Gruppe stellt sich das Ergebnis
der relativen Knüpfung als einerlei heraus mit dem der gleichnamigen
identischen Knüpfung:
11)

[Tabelle]
12)
[Tabelle]
13)
[Tabelle]

Beweis. i ; j = i ; (1 ; j) = i ; 1 ; j = i ; 1 · 1 ; j = i · j, u. s. w.

Der Einzeiler von einem Einkolonner ist also der Schnitt beider,
d. h. ist immer ein individuelles binäres Relativ, und zwar dasjenige,
welches an der Schnittstelle der beiden Vollreihen in der Tafel 12 steht.

Hier sei auf eine Attrape aufmerksam gemacht. Angesichts des vor-
stehenden Satzes wird der Anfänger auf die Frage, was nun der Ein-
kolonner von einem Einzeiler sein werde? leichtlich hereinfallen, meinend,
dass dies sich analog verhalten werde. Solches ist nun aber durchaus nicht
der Fall und braucht es nicht zu sein, weil das Konverse von i ; j wieder
von derselben Form, nämlich j ; i, keineswegs jedoch i ; j noch auch j ; i sein
wird -- gleichwie überhaupt bei a ; b (sowie bei a ; b) die Konversion nie-
mals aus dieser Form herausführen kann! Die Antwort auf die aufgeworfne
Frage wird vielmehr ganz anders ausfallen und durch den ersten der
folgenden Sätze selbständig gegeben.

Die Formeln rechts vom Mittelstriche in 11) bis 13) müssten als
dual den linkseitigen entsprechende eigentlich in der umgekehrten
Reihenfolge, von unten nach oben, hingesetzt sein; doch glaubten wir
durch die gewählte Stellung die Übersicht und das Behalten der Sätze
zu erleichtern.

Die 8 noch übrigen Knüpfungen bilden eigentlich zusammen eine
dritte Hauptgruppe, die sich aber in zwei Untergruppen gliedert.


Zehnte Vorlesung.

In Worten: Ein Einzeiler von einem Einzeiler ist immer der erste
Einzeiler und ein Einkolonner von einem Einkolonner ist immer der letzte
Einkolonner — statt eines Terms aber kann hiebei auch auch dessen
Negation durchweg eintreten.

Den Beweis durch Herbeiführung der Koeffizientenevidenz zu leisten
ist leicht. Will man diese umgehen, so kann man auch schliessen:
i ; j = (i ; 1) ; j = i ; 1 ; j = i ; 1 · 1 ; j = i · 1 = i
— gemäss 2), und 5) des § 11. Ganz ebenso ist i ; j̄ = i, ī ; j̄ = ī, ī ; j = ī
zu beweisen, woraus dann die übrigen Formeln der ersten Zeile von 10)
durch die Kontraposition folgen, und aus dieser die zweite Zeile durch
Konvertiren hervorgeht.

Bei den 8 Knüpfungen der zweiten Gruppe stellt sich das Ergebnis
der relativen Knüpfung als einerlei heraus mit dem der gleichnamigen
identischen Knüpfung:
11)

[Tabelle]
12)
[Tabelle]
13)
[Tabelle]

Beweis. i ; j̆ = i ; (1 ; j̆) = i ; 1 ; j̆ = i ; 1 · 1 ; j̆ = i · j̆, u. s. w.

Der Einzeiler von einem Einkolonner ist also der Schnitt beider,
d. h. ist immer ein individuelles binäres Relativ, und zwar dasjenige,
welches an der Schnittstelle der beiden Vollreihen in der Tafel 12 steht.

Hier sei auf eine Attrape aufmerksam gemacht. Angesichts des vor-
stehenden Satzes wird der Anfänger auf die Frage, was nun der Ein-
kolonner von einem Einzeiler sein werde? leichtlich hereinfallen, meinend,
dass dies sich analog verhalten werde. Solches ist nun aber durchaus nicht
der Fall und braucht es nicht zu sein, weil das Konverse von i ; j̆ wieder
von derselben Form, nämlich j ; ĭ, keineswegs jedoch ĭ ; j noch auch j̆ ; i sein
wird — gleichwie überhaupt bei a ; b̆ (sowie bei ă ; b) die Konversion nie-
mals aus dieser Form herausführen kann! Die Antwort auf die aufgeworfne
Frage wird vielmehr ganz anders ausfallen und durch den ersten der
folgenden Sätze selbständig gegeben.

Die Formeln rechts vom Mittelstriche in 11) bis 13) müssten als
dual den linkseitigen entsprechende eigentlich in der umgekehrten
Reihenfolge, von unten nach oben, hingesetzt sein; doch glaubten wir
durch die gewählte Stellung die Übersicht und das Behalten der Sätze
zu erleichtern.

Die 8 noch übrigen Knüpfungen bilden eigentlich zusammen eine
dritte Hauptgruppe, die sich aber in zwei Untergruppen gliedert.


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[412/0426] Zehnte Vorlesung. In Worten: Ein Einzeiler von einem Einzeiler ist immer der erste Einzeiler und ein Einkolonner von einem Einkolonner ist immer der letzte Einkolonner — statt eines Terms aber kann hiebei auch auch dessen Negation durchweg eintreten. Den Beweis durch Herbeiführung der Koeffizientenevidenz zu leisten ist leicht. Will man diese umgehen, so kann man auch schliessen: i ; j = (i ; 1) ; j = i ; 1 ; j = i ; 1 · 1 ; j = i · 1 = i — gemäss 2), und 5) des § 11. Ganz ebenso ist i ; j̄ = i, ī ; j̄ = ī, ī ; j = ī zu beweisen, woraus dann die übrigen Formeln der ersten Zeile von 10) durch die Kontraposition folgen, und aus dieser die zweite Zeile durch Konvertiren hervorgeht. Bei den 8 Knüpfungen der zweiten Gruppe stellt sich das Ergebnis der relativen Knüpfung als einerlei heraus mit dem der gleichnamigen identischen Knüpfung: 11) 12) 13) Beweis. i ; j̆ = i ; (1 ; j̆) = i ; 1 ; j̆ = i ; 1 · 1 ; j̆ = i · j̆, u. s. w. Der Einzeiler von einem Einkolonner ist also der Schnitt beider, d. h. ist immer ein individuelles binäres Relativ, und zwar dasjenige, welches an der Schnittstelle der beiden Vollreihen in der Tafel 12 steht. Hier sei auf eine Attrape aufmerksam gemacht. Angesichts des vor- stehenden Satzes wird der Anfänger auf die Frage, was nun der Ein- kolonner von einem Einzeiler sein werde? leichtlich hereinfallen, meinend, dass dies sich analog verhalten werde. Solches ist nun aber durchaus nicht der Fall und braucht es nicht zu sein, weil das Konverse von i ; j̆ wieder von derselben Form, nämlich j ; ĭ, keineswegs jedoch ĭ ; j noch auch j̆ ; i sein wird — gleichwie überhaupt bei a ; b̆ (sowie bei ă ; b) die Konversion nie- mals aus dieser Form herausführen kann! Die Antwort auf die aufgeworfne Frage wird vielmehr ganz anders ausfallen und durch den ersten der folgenden Sätze selbständig gegeben. Die Formeln rechts vom Mittelstriche in 11) bis 13) müssten als dual den linkseitigen entsprechende eigentlich in der umgekehrten Reihenfolge, von unten nach oben, hingesetzt sein; doch glaubten wir durch die gewählte Stellung die Übersicht und das Behalten der Sätze zu erleichtern. Die 8 noch übrigen Knüpfungen bilden eigentlich zusammen eine dritte Hauptgruppe, die sich aber in zwei Untergruppen gliedert.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 412. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/426>, abgerufen am 23.05.2024.