Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Zehnte Vorlesung.

lauter Leerzeilen haben und x = 0 sein. Dieser Wert genügt aber der
fraglichen Charakteristik nicht, verwandelt sie vielmehr in die absurde
Gleichung 1 = 0. Folglich muss x mindestens eine Vollzeile haben. Sei
durch i solche markirt, mithin x_{i k} = 1 für jedes k, so ist leicht zu zeigen,
dass x keine zweite Vollzeile haben kann, vielmehr alle übrigen Zeilen
von x ausser der i^ten dann Leerzeilen sein müssen.

Denn markirt l ≠ i irgend eine andre Zeile, so werden wir haben:
x_{l j} = Π_h(1'_{l h} + Σ_kx̄_{h k})
— worin nur der dem Werte h = l entsprechende Faktor des Produktes Π
wegen 1'_{l l} = 1 ineffektiv ist, für jedes h ≠ l dagegen ein nicht zu vernach-
lässigender Faktor hervorspringt. Ein solches h ≠ l ist aber (wegen i ≠ l)
unfehlbar der Wert h = i. D. h. unser x_{l j} repräsentirendes Produkt hat
jedenfalls zum Faktor
1'_{l i} + Σ_kx̄_{i k}, welches = 0,
weil 1'_{l i} = 0 für l ≠ i und jedes x̄_{i k} = 0 sein muss, als Negation des oben
= 1 statuirten x_{i k}. Mithin verschwindet auch das ganze Produkt und
haben wir bei beliebigem j neben x_{i j} = 1 auch x_{l j} = 0 für jedes l ≠ i;
d. h. x ist (= i) ein Einzeiler, wie behauptet worden.

Man kann den Satz auch durch die Formel darstellen:
8) (1' ɟ x̄ ; 1 = x) = Σ_i(x = i),
und wird er auch in dieser Fassung als rückwärtige Aussagensubsumtion
durch das Frühere, als vorwärtige durch die Überlegung des letzten
Kontextes für bewiesen zu erachten sein. Selbstverständlich kann in
jedem Falle nur ein Glied der Alternative rechterhand den Wahrheits-
wert 1 haben.

Will man x = i als einen Einzeiler, anstatt durch eine der etwas
komplizirten Gleichungen 7), lieber durch zwei zusammenbestehende
einfachere Gleichungen charakterisiren, so braucht man nur von den
2 + 4 = 6 folgenden eine links vom Striche zu nehmen und mit irgend
einer rechts davon zu verbinden:

	x ; 1 = x
1' ɟ x̄ = x	x ɟ 0 = x
0' ; x = x̄	x̄ ; 1 = x̄
	x̄ ɟ 0 = x̄.

Denn durch Einsetzung des Wertes von x oder x̄ aus der einen
in die andre Gleichung ergibt sich allemal eine der Gleichungsformen 6)
— x für i gesagt — und ferner sind die vorstehenden für x = i erfüllt.

Beispielsweise charakterisirt also auch die Doppelgleichung: 1' ɟ x̄ =
= x = x ; 1, ebenso die Gleichung x · 0' ; x = 0 nebst der Subsumtion
x ; 1 + 1' ɟ x̄ ⋹ x, etc. das x als einen Einzeiler. —