§ 23. Pseudodualismus in Dedekind's Kettentheorie.
Ähnlich dürfen auch die Sätze D 42 und 43 nur scheindual genannt werden, obwol in beiden gleichermassen ein Subsumtionszeichen steht. --
Wollen wir nun also die Kettentheorie unter engstem Anschluss an Dedekind uns möglichst einfach zurechtlegen, dieselbe in den Rahmen unsrer allgemeineren Disziplin einpassend, so wird von der ganzen Gruppe 10) nur die Definition jener Redensart D 37 beizubehalten oder in Erinnerung zu bringen sein, die wir ja übrigens schon nebenher in § 22 sub 5) in unsere Disziplin aufgenommen haben.
Sodann werden wir jetzt einfürallemal zu erledigen haben die vier Sätze der Gruppe 20), welche dem "punctum saliens" D 44 noch vorangehen.
Von diesen möchte ich die Sätze D 42 und 43 lieber vorannehmen -- als die elementareren und weil sie von allgemeinerem Interesse sind, wo- gegen die D 40 und 41 mehr nur als Hülfssätze zu später benötigten Beweisführungen ihre Berechtigung zu haben scheinen, sodann auch, weil letztere ebendadurch unmittelbaren Anschluss gewinnen an die mit D 44 beginnenden Betrachtungen, deren Zwecke sie zu fördern bestimmt sind, und mit denen sie Zugehörigkeit verraten.
D 42 und 43 statuiren: Die Summe resp. das Produkt von Ketten inbezug auf ein Relativ a ist eine Kette inbezug auf ebendieses.
Um ihre Formeln in 20) zu beweisen, braucht man blos die Prämissen überschiebend durch Addition resp. Multiplikation zu verknüpfen, wodurch sich ergibt: a ; b + a ; c + ... b + c + ... resp. a ; b · a ; c ... b · c ... und dann das Schema 4) resp. 5) des § 6: a ; b + a ; c + ... = a ; (b + c + ...) resp. a ; bc ... a ; b · a ; c ... in Anwendung zu bringen. Die Konklusion zum Satze links wird alsdann pariter (d. i. als äquivalente Transformation), die zum Satze rechts aber a fortiori gewonnen.
Die beiden Sätze würden sich vereinigen und zugleich ausdehnen lassen zu dem allgemeinern: Das Ergebniss irgendwelcher Knüpfungen (mittelst iden- tischer Operationen) von irgendwelchen Ketten inbezug auf einunddasselbe Re- lativ a ist wieder eine Kette inbezug auf ebendieses.
Sind z. B. b, c, d, e, f Ketten bezüglich a, so ist bc + def sowie (b + cd)e + f, etc. wieder eine solche. Der Satz gälte sogar ohne die Worte in Klammer.
D 40: (a ; cc)(bc) (a ; bc) besagt: Das Bild eines Kettenteiles ist Teil dieser Kette, genauer: das a-Bild a ; b des Teils b einer Kette c inbezug auf a ist enthalten in dieser Kette c.
Der Beweis ergibt sich, indem man aus der zweiten der beiden Teil- prämissen, in welche die gegebene Prämisse wie vorstehend angegeben zer- fällt, mittelst beiderseitigen relativen Vormultiplizirens mit a gemäss 1)
§ 23. Pseudodualismus in Dedekind’s Kettentheorie.
Ähnlich dürfen auch die Sätze D 42 und 43 nur scheindual genannt werden, obwol in beiden gleichermassen ein Subsumtionszeichen steht. —
Wollen wir nun also die Kettentheorie unter engstem Anschluss an Dedekind uns möglichst einfach zurechtlegen, dieselbe in den Rahmen unsrer allgemeineren Disziplin einpassend, so wird von der ganzen Gruppe 10) nur die Definition jener Redensart D 37 beizubehalten oder in Erinnerung zu bringen sein, die wir ja übrigens schon nebenher in § 22 sub 5) in unsere Disziplin aufgenommen haben.
Sodann werden wir jetzt einfürallemal zu erledigen haben die vier Sätze der Gruppe 20), welche dem „punctum saliens“ D 44 noch vorangehen.
Von diesen möchte ich die Sätze D 42 und 43 lieber vorannehmen — als die elementareren und weil sie von allgemeinerem Interesse sind, wo- gegen die D 40 und 41 mehr nur als Hülfssätze zu später benötigten Beweisführungen ihre Berechtigung zu haben scheinen, sodann auch, weil letztere ebendadurch unmittelbaren Anschluss gewinnen an die mit D 44 beginnenden Betrachtungen, deren Zwecke sie zu fördern bestimmt sind, und mit denen sie Zugehörigkeit verraten.
D 42 und 43 statuiren: Die Summe resp. das Produkt von Ketten inbezug auf ein Relativ a ist eine Kette inbezug auf ebendieses.
Um ihre Formeln in 20) zu beweisen, braucht man blos die Prämissen überschiebend durch Addition resp. Multiplikation zu verknüpfen, wodurch sich ergibt: a ; b + a ; c + … ⋹ b + c + … resp. a ; b · a ; c … ⋹ b · c … und dann das Schema 4) resp. 5) des § 6: a ; b + a ; c + … = a ; (b + c + …) resp. a ; bc … ⋹ a ; b · a ; c … in Anwendung zu bringen. Die Konklusion zum Satze links wird alsdann pariter (d. i. als äquivalente Transformation), die zum Satze rechts aber a fortiori gewonnen.
Die beiden Sätze würden sich vereinigen und zugleich ausdehnen lassen zu dem allgemeinern: Das Ergebniss irgendwelcher Knüpfungen (mittelst iden- tischer Operationen) von irgendwelchen Ketten inbezug auf einunddasselbe Re- lativ a ist wieder eine Kette inbezug auf ebendieses.
Sind z. B. b, c, d, e, f Ketten bezüglich a, so ist bc + def sowie (b + cd)e + f, etc. wieder eine solche. Der Satz gälte sogar ohne die Worte in Klammer.
D 40: (a ; c ⋹ c)(b ⋹ c) ⋹ (a ; b ⋹ c) besagt: Das Bild eines Kettenteiles ist Teil dieser Kette, genauer: das a-Bild a ; b des Teils b einer Kette c inbezug auf a ist enthalten in dieser Kette c.
Der Beweis ergibt sich, indem man aus der zweiten der beiden Teil- prämissen, in welche die gegebene Prämisse wie vorstehend angegeben zer- fällt, mittelst beiderseitigen relativen Vormultiplizirens mit a gemäss 1)
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§ 23. Pseudodualismus in Dedekind’s Kettentheorie.
Ähnlich dürfen auch die Sätze D 42 und 43 nur scheindual genannt
werden, obwol in beiden gleichermassen ein Subsumtionszeichen steht. —
Wollen wir nun also die Kettentheorie unter engstem Anschluss
an Dedekind uns möglichst einfach zurechtlegen, dieselbe in den Rahmen
unsrer allgemeineren Disziplin einpassend, so wird von der ganzen
Gruppe 10) nur die Definition jener Redensart D 37 beizubehalten oder
in Erinnerung zu bringen sein, die wir ja übrigens schon nebenher in
§ 22 sub 5) in unsere Disziplin aufgenommen haben.
Sodann werden wir jetzt einfürallemal zu erledigen haben die
vier Sätze der Gruppe 20), welche dem „punctum saliens“ D 44 noch
vorangehen.
Von diesen möchte ich die Sätze D 42 und 43 lieber vorannehmen —
als die elementareren und weil sie von allgemeinerem Interesse sind, wo-
gegen die D 40 und 41 mehr nur als Hülfssätze zu später benötigten
Beweisführungen ihre Berechtigung zu haben scheinen, sodann auch, weil
letztere ebendadurch unmittelbaren Anschluss gewinnen an die mit D 44
beginnenden Betrachtungen, deren Zwecke sie zu fördern bestimmt sind,
und mit denen sie Zugehörigkeit verraten.
D 42 und 43 statuiren: Die Summe resp. das Produkt von Ketten
inbezug auf ein Relativ a ist eine Kette inbezug auf ebendieses.
Um ihre Formeln in 20) zu beweisen, braucht man blos die Prämissen
überschiebend durch Addition resp. Multiplikation zu verknüpfen, wodurch
sich ergibt:
a ; b + a ; c + … ⋹ b + c + … resp. a ; b · a ; c … ⋹ b · c …
und dann das Schema 4) resp. 5) des § 6:
a ; b + a ; c + … = a ; (b + c + …) resp. a ; bc … ⋹ a ; b · a ; c …
in Anwendung zu bringen. Die Konklusion zum Satze links wird alsdann
pariter (d. i. als äquivalente Transformation), die zum Satze rechts aber
a fortiori gewonnen.
Die beiden Sätze würden sich vereinigen und zugleich ausdehnen lassen
zu dem allgemeinern: Das Ergebniss irgendwelcher Knüpfungen (mittelst iden-
tischer Operationen) von irgendwelchen Ketten inbezug auf einunddasselbe Re-
lativ a ist wieder eine Kette inbezug auf ebendieses.
Sind z. B. b, c, d, e, f Ketten bezüglich a, so ist bc + def sowie (b + cd)e + f,
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D 40: (a ; c ⋹ c)(b ⋹ c) ⋹ (a ; b ⋹ c)
besagt: Das Bild eines Kettenteiles ist Teil dieser Kette, genauer: das
a-Bild a ; b des Teils b einer Kette c inbezug auf a ist enthalten in
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Der Beweis ergibt sich, indem man aus der zweiten der beiden Teil-
prämissen, in welche die gegebene Prämisse wie vorstehend angegeben zer-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 359. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/373>, abgerufen am 23.11.2024.
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