Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 23. Einleitung in die Kettentheorie.

Wort — das ich in meinem Bd. 1 vorwiegend verwendete — bei Dede-
kind eben das Wort „Systeme“ einspringt, dem ich in gegenwärtigem Bd. 3
ebenfalls den Vorzug gebe.

Die Erklärungen führen ein: das „System“ von „Elementen“ (unsern
„Individuen“ des ersten Denkbereichs), ferner die Beziehungen der Einord-
nung oder des Enthaltenseins des „Teils“ im „Ganzen“, sowie der Gleich-
heit, und der Unterordnung des „echten“ Teils unter das Ganze, endlich
das identische Produkt (bei Dedekind „Gemeinheit“ genannt) und die
identische Summe von zwei oder mehrern Systemen (welche letztre Dede-
kind als das aus ihnen „zusammengesetzte“ System bezeichnet). c heisst
„Gemeinteil“ von a und b, wenn c ⋹ a und c ⋹ b ist; ebenso heisst i „ge-
meinsames“ Element von a und b, falls i ⋹ a und i ⋹ b (D 17).

Die Sätze sind die allbekannten oder ganz nahe liegende Korollare von
solchen, welche wir hier nicht blos für (D’s) „Systeme“, sondern auch für
binäre Relative überhaupt in Anspruch zu nehmen bereits berechtigt sind.

Dieser erste Teil kommt hienach — für uns — in Wegfall, indem
wir, statt seine Sätze anziehen zu müssen, mit den allergeläufigsten Er-
rungenschaften des identischen Kalkuls auskommen werden. In diesem
Wegfall des gedachten Teiles (mit seinen 20 Sätzen), der durch sein Auf-
gehen in einer ohnehin vorhandenen nichts weniger als trocknen, vielmehr
an Anwendungen reichen Disziplin vorbereitet ist, dürfte vielleicht schon
eine kleine „Abkürzung“ der fast ermüdend langen Schlussreihen von Dede-
kind — wenigstens als solcher — zu erblicken sein. Sonst freilich kann
nicht gesagt werden, dass an dieser Stelle durch meinen voluminösen Bd. 1
gerade eine Abkürzung jener bewirkt werde.

Erwähnt sei noch, dass das in unserm Bd. 1 als „Prinzip II“ an-
geführte Schema des Subsumtionsschlusses in D 7 als „Satz“ mit einem
„Beweise“ gegeben wird. Im Sinne des Autors, der sich durchweg des
„Argumentirens auf die Individuen (Elemente)“ bedient, kann man dies
gelten lassen — während wir ebenso berechtigt waren l. c. das Schema
von unserm dortigen Ausgangspunkte aus als unbeweisbar hinzustellen.

Begreiflich muss sich durch gedachten ersten Teil ein (wirklicher)
Dualismus ziehen. Wol zufolge des eben gekennzeichneten Umstandes
(dass fortwährend auf Individuen argumentirend vorgegangen wird) kommt
derselbe aber nicht ganz rein zum Ausdruck und fehlt z. B. als ein aus-
drücklich statuirter der dual entsprechende Satz zu D 9. Im übrigen
dokumentirt sich auch bei Dedekind der Dualismus wenigstens darin, dass
dual entsprechende Sätze jeweils als Nachbarn unmittelbar aufeinander
folgen. Ich werde, wo mir in späteren Teilen Gelegenheit dazu wird, den
Dualismus, wie bisher stets, durch Gegenüberstellung der entsprechenden
Sätze oder Formeln noch schärfer hervorheben.

Über die Frage, ob nicht das schlechtweg als Gedanken-Ding hin-
gestellte „Element“ bei Dedekind doch etwas zu weit gefasst und einer
begrifflichen Einschränkung bedürftig wäre, behalte ich mir für eine spä-
tere Gelegenheit noch eine Äusserung vor.

Der „zweite Teil“ besteht aus D 22 bis incl. D 24 des mit „Ab-
bildung eines Systems“ überschriebenen D § 2, dazu dem ganzen Inhalte —