ist, mithin das Produkt der drei andern mit einem gegebnen Relativ ver- wandten Relative stets 0, deren Summe gleich 1 ist. Dies ist jedoch nicht zu verwundern, sintemal sich unter den dreien stets zweie finden, die Negate von einander sind.
Im Ganzen lieferte uns auf der vorliegenden untersten Stufe die dritte Hauptabteilung -- wie man sieht -- keine wesentlich neuen Probleme.]
Wir haben uns demnach nur mehr noch mit der Lösung der Aufgabe 14) zu beschäftigen, d. h. mit der Auflösung der Gleichung axn = x. Diese erscheint als die schwierigste von den bisherigen Aufgaben.
Bringt man die Gleichung rechts auf 0, indem man für an + x schreibt an + ax, so entsteht: anx + a(xx + xnxn) = 0, und dies zerfällt in xa und axxn + xnx. Letzteres liefert nach 7) des § 9 die Resultante: a 0'. Dass diese bis jetzt erst als unerlässlich nachgewiesene Resultante auch ausreichend, dass sie die volle Resultante ist, wird sich erst am Schlusse der Untersuchung ergeben. Wir setzen sie nunmehr als erfüllt voraus, d. h. wir nehmen an, a sei Aliorelativ, habe die Diagonale unbesetzt, es sei a = 0'a.
Um die Aufgabe zu lösen, scheint es das nächstliegende: dass man die aufzulösende Gleichung in ihre beiden Teilsubsumtionen axnx und xaxn zerfälle und für diese die mit 12) und 13) gegebnen allgemeinen Lösungen benutze. Der Versuch, die Lösung der einen Teilaufgabe auch der andern genügend zu machen, führt aber allemal in einen Zirkel.
Wir wollen gleichwol diesen Weg ein Stück weit gehen, genügen also der zweiten Teilsubsumtion gemäss 13) auf die allgemeinste Weise, indem wir setzen: x = avvn womit xn = an + v + vn wird. Dann fordert die erste Teilsubsumtion, dass aan + av + avnavvn werde, und zerfällt diese Forderung in die vier Subsumtionen: aanv, aanvn, avvn, avnv, deren beide erste zu aanva + an zusammenfliessen und durch v = aan + w(a + an), vn = ana + wn(an + a), v = ana + w(an + a), vn = aan + wn(a + an) auf die allgemeinste Weise befriedigt werden. Die hiermit sich ergebenden Werte von vv = ww(aa + anan), vnvn = wnwn(aa + anan)
Achte Vorlesung.
ist, mithin das Produkt der drei andern mit einem gegebnen Relativ ver- wandten Relative stets 0, deren Summe gleich 1 ist. Dies ist jedoch nicht zu verwundern, sintemal sich unter den dreien stets zweie finden, die Negate von einander sind.
Im Ganzen lieferte uns auf der vorliegenden untersten Stufe die dritte Hauptabteilung — wie man sieht — keine wesentlich neuen Probleme.]
Wir haben uns demnach nur mehr noch mit der Lösung der Aufgabe 14) zu beschäftigen, d. h. mit der Auflösung der Gleichung ax̄̆ = x. Diese erscheint als die schwierigste von den bisherigen Aufgaben.
Bringt man die Gleichung rechts auf 0, indem man für ā + x̆ schreibt ā + ax̆, so entsteht: āx + a(xx̆ + x̄x̄̆) = 0, und dies zerfällt in x ⋹ a und a ⋹ xx̄̆ + x̄x̆. Letzteres liefert nach 7) des § 9 die Resultante: a ⋹ 0'. Dass diese bis jetzt erst als unerlässlich nachgewiesene Resultante auch ausreichend, dass sie die volle Resultante ist, wird sich erst am Schlusse der Untersuchung ergeben. Wir setzen sie nunmehr als erfüllt voraus, d. h. wir nehmen an, a sei Aliorelativ, habe die Diagonale unbesetzt, es sei a = 0'a.
Um die Aufgabe zu lösen, scheint es das nächstliegende: dass man die aufzulösende Gleichung in ihre beiden Teilsubsumtionen ax̄̆ ⋹ x und x ⋹ ax̄̆ zerfälle und für diese die mit 12) und 13) gegebnen allgemeinen Lösungen benutze. Der Versuch, die Lösung der einen Teilaufgabe auch der andern genügend zu machen, führt aber allemal in einen Zirkel.
Wir wollen gleichwol diesen Weg ein Stück weit gehen, genügen also der zweiten Teilsubsumtion gemäss 13) auf die allgemeinste Weise, indem wir setzen: x = avv̄̆ womit x̄̆ = ā̆ + v + v̄̆ wird. Dann fordert die erste Teilsubsumtion, dass aā̆ + av + av̄̆ ⋹ avv̄̆ werde, und zerfällt diese Forderung in die vier Subsumtionen: aā̆⋹v, aā̆⋹v̄̆, av⋹v̄̆, av̄̆⋹v, deren beide erste zu aā̆ ⋹ v ⋹ a + ā̆ zusammenfliessen und durch v = aā̆ + w(a + ā̆), v̄ = āă + w̄(ā + ă), v̆ = āă + w̆(ā + ă), v̄̆ = aā̆ + w̄̆(a + ā̆) auf die allgemeinste Weise befriedigt werden. Die hiermit sich ergebenden Werte von vv̆ = ww̆(aă + āā̆), v̄v̄̆ = w̄w̄̆(aă + āā̆)
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Achte Vorlesung.
ist, mithin das Produkt der drei andern mit einem gegebnen Relativ ver-
wandten Relative stets 0, deren Summe gleich 1 ist. Dies ist jedoch nicht
zu verwundern, sintemal sich unter den dreien stets zweie finden, die
Negate von einander sind.
Im Ganzen lieferte uns auf der vorliegenden untersten Stufe die dritte
Hauptabteilung — wie man sieht — keine wesentlich neuen Probleme.]
Wir haben uns demnach nur mehr noch mit der Lösung der
Aufgabe 14) zu beschäftigen, d. h. mit der Auflösung der Gleichung
ax̄̆ = x. Diese erscheint als die schwierigste von den bisherigen
Aufgaben.
Bringt man die Gleichung rechts auf 0, indem man für ā + x̆ schreibt
ā + ax̆, so entsteht:
āx + a(xx̆ + x̄x̄̆) = 0,
und dies zerfällt in x ⋹ a und a ⋹ xx̄̆ + x̄x̆. Letzteres liefert nach 7)
des § 9 die Resultante: a ⋹ 0'. Dass diese bis jetzt erst als unerlässlich
nachgewiesene Resultante auch ausreichend, dass sie die volle Resultante
ist, wird sich erst am Schlusse der Untersuchung ergeben. Wir setzen sie
nunmehr als erfüllt voraus, d. h. wir nehmen an, a sei Aliorelativ, habe
die Diagonale unbesetzt, es sei a = 0'a.
Um die Aufgabe zu lösen, scheint es das nächstliegende: dass man
die aufzulösende Gleichung in ihre beiden Teilsubsumtionen ax̄̆ ⋹ x und
x ⋹ ax̄̆ zerfälle und für diese die mit 12) und 13) gegebnen allgemeinen
Lösungen benutze. Der Versuch, die Lösung der einen Teilaufgabe auch
der andern genügend zu machen, führt aber allemal in einen Zirkel.
Wir wollen gleichwol diesen Weg ein Stück weit gehen, genügen also
der zweiten Teilsubsumtion gemäss 13) auf die allgemeinste Weise, indem
wir setzen:
x = avv̄̆ womit x̄̆ = ā̆ + v + v̄̆
wird. Dann fordert die erste Teilsubsumtion, dass
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werde, und zerfällt diese Forderung in die vier Subsumtionen:
aā̆⋹v, aā̆⋹v̄̆, av⋹v̄̆, av̄̆⋹v,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 304. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/318>, abgerufen am 13.05.2024.
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