Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 15. Parallelreihenwandlung in niedersten Denkbereichen.

Die Gleichsetzung der beiden Ausdrücke für jedes auf die eine
und auf die andre Weise — als Summe und als Produkt — dar-
gestellte Zeilenrelativ fördert viele Parallelreihensätze zutage.

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Unschwer sind die Untersuchungsergebnisse dieses Paragraphen
für den Fall zu modifiziren, wo der Denkbereich 1¹ blos drei, sowie
für den, wo er blos zwei Elemente umfasst.

Im Denkbereiche 1 ⅓ aus drei Elementen kommt die mittlere Zeilen-
kategorie β in Wegfall; als Zeilenschema von a verbleibt:
a = 1αγ0.
Es fallen allemal die vier Relative in eines zusammen, deren bisherige
Zeilenschemata sich blos durch die Besetzungsweise der mittleren oder
dritten Ziffernstelle (mit β, β̄, 1 oder 0) unterschied. Mithin schrumpft
a priori die Anzahl der noch zu unterscheidenden Zeilenrelative von a auf
höchstens ihren vierten Teil, das ist auf 64 zusammen. Und es behalten
alle bisherigen Sätze volle Geltung — genau so als ob in dem allgemeinen
Relativ a = 1αβγ0 die Kategorie β als unvertreten durch den Horizontal-
strich zu ersetzen gewesen wäre, wo wir a = 1α - γ0 gehabt haben würden.
Zu diesen Sätzen kommen blos, kraft der vorhergehenden Bemerkung, noch
zahlreiche weitre Äquivalenzen hinzu.

Alle diese wird der Leser sich im Bedarfsfalle mit Leichtigkeit zu-
sammensuchen. Bemerkt zu werden verdient, dass die 64 Zeilenrelative
hier schon mit denen 1) bis 7) vollständig gegeben sind. Das unter 7)
S. 208 gegebene Tableau schrumpft hier zusammen zu:

11	00	α1	ᾱ0
αγ	ᾱγ̄	0γ	1γ̄
α0	ᾱ1	αγ̄	ᾱγ
1γ	0γ̄	10	01.

Hier wird man also zur Darstellung aller Zeilenrelative gar keiner sekun-
dären Modulknüpfungen 18) oder 19) bedürfen, vielmehr schon mit den
primären auskommen. Und zwar drücken jene sich durch diese beispiels-
weise — vergl. 7) und 6) — wie folgt aus:
(a ɟ 1') ; 1 = a ; 0' · (a ɟ 1' + a) = a ɟ 1' + a ; 0' · a = a ; 0' ɟ 0,
(a ɟ 1') ; 0' = a ; 0' · a, a ; 0' ɟ 1' = a ɟ 1' + a.
Weil nun aber blos drei Zeilen vorhanden sind, so werden niemals alle
vier Zeilenkategorieen gleichzeitig vertreten sein können; mindestens eine
von ihnen muss in a unvertreten sein, und wir haben die vier Fälle zu
unterscheiden:
a = 1αγ-, a = 1α - 0, a = 1 - γ0, a = -αγ0,