zugefügt werden dürfen, mehr aber noch: welche Mitfaktoren, wenn sie daneben auftreten, ebendort unterdrückbar sind.
Nunmehr können wir also jedes Zeilenrelativ darstellen. Z. B. wird 0an1g1 = 0an000 + 00100 + 000g0 + 00001 zu erhalten sein als die Summe der Ausdrücke, welche sich für die vier Relative rechterhand in 37) und 38) einzeln angegeben finden. Der solchergestalt durch Vereinigung gewonnene Ausdruck für ein Zeilenrelativ ist aber -- wie schon das Beispiel 38) zeigte -- zumeist nicht der konziseste, dessen das Relativ fähig ist. Statt seiner geben wir, wo nur immer uns ein einfacherer Ausdruck zugebote steht, natür- lich diesen letztern an. Und es bleibt ein Tummelplatz noch un- gelöster Aufgaben: für jedes Zeilenrelativ dessen knappsten Ausdruck (eventuell die gleich einfachen konzisesten Ausdrücke desselben) zu finden mit der Minimalzahl der Terme (als da sind Buchstaben a, an oder Modulzeichen) aus denen sein Name aufgebaut, mit Hülfe deren es hinsichtlich der Art und Weise, wie es aus a hervorgeht, "beschrieben" werden kann.
Wir wollen nun diejenigen von den 256 Zeilenrelativen wirklich aufstellen, die man als die ausschliesslich hervorhebenden (oder ab- werfenden) bezeichnen könnte -- inbezug auf das beliebig gegebene Relativ a. Da von einem "Abwerfen" der (fünften) Ziffer 0 nicht die Rede sein kann, so gibt es deren 24 = 16 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 je nach- dem keine, eine, 2, 3 und 4 von den ersten Ziffern abgeworfen werden, nämlich:
1abg0
1a000
10000
1ab00
10b00
0a000
1a0g0
100g0
00b00
10bg0
0ab00
000g0
0abg0
0a0g0
00000.
00bg0
Lexikalisch geordnet stellen sich diese Relative wie folgt wol am einfachsten dar: 39) 1abg0 = a, 1ab00 = a ; 0' · a, 1a0g0 = (a j 1' + an j 1') ; 1 · a, 1a000 = (a j 1') ; 1 · a = (a j 1') ; 0', 10bg0 = (an ; 0' j 0 + a j 1')a = a j 0 + (an ; 0' j 0)a, 10b00 = {a j 0 + (an ; 0' j 0) · a ; 0'}a = a j 0 + (a ; 0' · an ; 0' j 0)a, 100g0 = (a j 1' + an j 1')a = (a j 0 + an j 1')a = a j 0 + (an j 1')a,
§ 15. Zur Darstellung der 256 Zeilenrelative.
zugefügt werden dürfen, mehr aber noch: welche Mitfaktoren, wenn sie daneben auftreten, ebendort unterdrückbar sind.
Nunmehr können wir also jedes Zeilenrelativ darstellen. Z. B. wird 0ᾱ1γ1 = 0ᾱ000 + 00100 + 000γ0 + 00001 zu erhalten sein als die Summe der Ausdrücke, welche sich für die vier Relative rechterhand in 37) und 38) einzeln angegeben finden. Der solchergestalt durch Vereinigung gewonnene Ausdruck für ein Zeilenrelativ ist aber — wie schon das Beispiel 38) zeigte — zumeist nicht der konziseste, dessen das Relativ fähig ist. Statt seiner geben wir, wo nur immer uns ein einfacherer Ausdruck zugebote steht, natür- lich diesen letztern an. Und es bleibt ein Tummelplatz noch un- gelöster Aufgaben: für jedes Zeilenrelativ dessen knappsten Ausdruck (eventuell die gleich einfachen konzisesten Ausdrücke desselben) zu finden mit der Minimalzahl der Terme (als da sind Buchstaben a, ā oder Modulzeichen) aus denen sein Name aufgebaut, mit Hülfe deren es hinsichtlich der Art und Weise, wie es aus a hervorgeht, „beschrieben“ werden kann.
Wir wollen nun diejenigen von den 256 Zeilenrelativen wirklich aufstellen, die man als die ausschliesslich hervorhebenden (oder ab- werfenden) bezeichnen könnte — inbezug auf das beliebig gegebene Relativ a. Da von einem „Abwerfen“ der (fünften) Ziffer 0 nicht die Rede sein kann, so gibt es deren 24 = 16 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 je nach- dem keine, eine, 2, 3 und 4 von den ersten Ziffern abgeworfen werden, nämlich:
1αβγ0
1α000
10000
1αβ00
10β00
0α000
1α0γ0
100γ0
00β00
10βγ0
0αβ00
000γ0
0αβγ0
0α0γ0
00000.
00βγ0
Lexikalisch geordnet stellen sich diese Relative wie folgt wol am einfachsten dar: 39) 1αβγ0 = a, 1αβ00 = a ; 0' · a, 1α0γ0 = (a ɟ 1' + ā ɟ 1') ; 1 · a, 1α000 = (a ɟ 1') ; 1 · a = (a ɟ 1') ; 0', 10βγ0 = (ā ; 0' ɟ 0 + a ɟ 1')a = a ɟ 0 + (ā ; 0' ɟ 0)a, 10β00 = {a ɟ 0 + (ā ; 0' ɟ 0) · a ; 0'}a = a ɟ 0 + (a ; 0' · ā ; 0' ɟ 0)a, 100γ0 = (a ɟ 1' + ā ɟ 1')a = (a ɟ 0 + ā ɟ 1')a = a ɟ 0 + (ā ɟ 1')a,
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§ 15. Zur Darstellung der 256 Zeilenrelative.
zugefügt werden dürfen, mehr aber noch: welche Mitfaktoren, wenn sie
daneben auftreten, ebendort unterdrückbar sind.
Nunmehr können wir also jedes Zeilenrelativ darstellen. Z. B. wird
0ᾱ1γ1 = 0ᾱ000 + 00100 + 000γ0 + 00001
zu erhalten sein als die Summe der Ausdrücke, welche sich für die
vier Relative rechterhand in 37) und 38) einzeln angegeben finden.
Der solchergestalt durch Vereinigung gewonnene Ausdruck für ein
Zeilenrelativ ist aber — wie schon das Beispiel 38) zeigte — zumeist
nicht der konziseste, dessen das Relativ fähig ist. Statt seiner geben
wir, wo nur immer uns ein einfacherer Ausdruck zugebote steht, natür-
lich diesen letztern an. Und es bleibt ein Tummelplatz noch un-
gelöster Aufgaben: für jedes Zeilenrelativ dessen knappsten Ausdruck
(eventuell die gleich einfachen konzisesten Ausdrücke desselben) zu
finden mit der Minimalzahl der Terme (als da sind Buchstaben a, ā
oder Modulzeichen) aus denen sein Name aufgebaut, mit Hülfe deren
es hinsichtlich der Art und Weise, wie es aus a hervorgeht, „beschrieben“
werden kann.
Wir wollen nun diejenigen von den 256 Zeilenrelativen wirklich
aufstellen, die man als die ausschliesslich hervorhebenden (oder ab-
werfenden) bezeichnen könnte — inbezug auf das beliebig gegebene
Relativ a. Da von einem „Abwerfen“ der (fünften) Ziffer 0 nicht die
Rede sein kann, so gibt es deren 24 = 16 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 je nach-
dem keine, eine, 2, 3 und 4 von den ersten Ziffern abgeworfen werden,
nämlich:
1αβγ0 1α000 10000
1αβ00 10β00 0α000
1α0γ0 100γ0 00β00
10βγ0 0αβ00 000γ0
0αβγ0 0α0γ0 00000.
00βγ0
Lexikalisch geordnet stellen sich diese Relative wie folgt wol am
einfachsten dar:
39)
1αβγ0 = a, 1αβ00 = a ; 0' · a, 1α0γ0 = (a ɟ 1' + ā ɟ 1') ; 1 · a,
1α000 = (a ɟ 1') ; 1 · a = (a ɟ 1') ; 0', 10βγ0 = (ā ; 0' ɟ 0 + a ɟ 1')a = a ɟ 0 + (ā ; 0' ɟ 0)a,
10β00 = {a ɟ 0 + (ā ; 0' ɟ 0) · a ; 0'}a = a ɟ 0 + (a ; 0' · ā ; 0' ɟ 0)a,
100γ0 = (a ɟ 1' + ā ɟ 1')a = (a ɟ 0 + ā ɟ 1')a = a ɟ 0 + (ā ɟ 1')a,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 219. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/233>, abgerufen am 04.05.2024.
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