Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 13. Unbegrenzte Iterationen.

15) [Formel 1] ,
der nebenbei sich als Sonderfall eines allgemeineren Satzes darstellt:
16) [Formel 2] .

An der Gültigkeit dieses Satzes 16) zu zweifeln ist schon durch das
Präzedenz der arithmetischen Analysis nahe gelegt, wo derselbe dann wenn
die Funktion f(x) bei x = u_∞ „unstetig“ ist, bekanntlich nicht gilt, viel-
mehr der „Grenzwert“ der Funktion von ihrem „Endwert“ (oder „Wert“
schlechtweg) verschieden ist.

Um sogleich den Satz 16) — als den allgemeineren — für unsre
Disziplin mit ihrer Beschränkung des Begriffs von f(u) auf einen durch die
sechs Spezies aus u und andern (von u unabhängigen) Relativen abgelei-
teten Ausdruck zu beweisen kann man versuchen, die Gültigkeit desselben
zunächst für jene Elementaroperationen mittelst deren f(u) sich aufbaut,
darzuthun in Gestalt der Sätze:
17)

[Tabelle]

18)

[Tabelle]

worin auch [Formel 3] als existirend, v_r gleichwie u_r als konvergent voraus-
zusetzen ist, und falls z. B. v_r = a eine Konstante bezüglich r vorstellen
sollte, auch v_∞ = a zu denken wäre.

Von diesen Sätzen gelingt es sehr leicht die vier ersten zu beweisen.
Z. B. diese Überlegung beweist den ersten von ihnen: Ist für irgend ein ij
und jedes r > n der Koeffizient (u_r)_{i j} endgültig = 0 oder 1, so ist auch
ebendafür (u_r̅)_{i j} endgültig = 1 oder 0. Ebenso leuchten auch bei endlichem
Denkbereiche die beiden letzten Sätze ein; dann wird es nämlich ein r
geben — das grösste unter den n, die den (u_r)_{i h} und (v_r)_{h j} einzeln ent-
sprechen — von welchem an, in der Σ_h des Produktes beider, diese Terme
ihre endgültigen von r unabhängigen Werte erlangt haben, und dann wird
das gleiche auch mit der Summe, d. h. mit (u_r ; v_r)_{i j}, der Fall sein. Und
ebenso wie die endgültigen Werte der (u_r ; v_r)_{i j} sich aus den Koeffizienten
(u_r)_{i h} und (v_r)_{h j} zusammensetzen, ebenso muss sich auch (u_∞ ; v_∞)_{i j} aus den
Koeffizienten von u_∞ und v_∞ zusammensetzen, weil diese eben als jene er-
klärt worden.

Dagegen stösst bei unbegrenztem Denkbereiche der Beweisversuch
[sofern Satz 18) dann überhaupt noch gilt!] auf Schwierigkeiten, die wir
im Kontext der S. 182 in der eckigen Klammer schon angedeutet haben.

Hievon abgesehn würde von den Teilsätzen 17), 18) über die beim
Aufbau von f(u) verwendeten Operationen die Behauptung sich offenbar
leicht auf den aus ihnen aufgebauten Ausdruck f(u) selbst übertragen und
wäre damit auch unser Satz 18) erwiesen.