wir alsdann dasjenige Relativ, welches an den "definitiv besetzten" Stellen von ul Augen trägt, die "definitiv unbesetzten" Stellen von ul aber zu Leerstellen hat. Und diesen Grenzwert werden wir kurz mit uinfinity bezeichnen.
Im Allgemeinen wird es aber Stellen ij geben, die weder zu den definitiv besetzten noch zu den definitiv unbesetzten Stellen des von l abhängigen ul gehören, bei welchen es vielmehr zu jedem noch so grossen Zeiger n stets Zahlwerte m > n gibt derart, dass wenn in un die Stelle besetzt war, sie in um wieder unbesetzt erscheint, und um- gekehrt.
Solche in ul bei wachsendem l schwankend (wenn auch nicht not- wendig in regelmässigem Wechsel) bald besetzte, bald auch einmal wieder unbesetzte Stellen mögen "oszillatorisch besetzte" (und ebenso unbesetzte) oder (endgültig) oszillatorische*) Stellen von ul heissen.
Ist auch nur eine solche Stelle oder sind ihrer gar mehrere vor- handen, so lässt sich mit dem Zeichen uinfinity kein bestimmter Begriff (als eines Relativs) verbinden, weil hier jeglicher Beweggrund fehlt der dafür den Ausschlag zu geben vermöchte, ob solche Stelle darin als besetzte oder als unbesetzte figuriren solle.
Das Symbol uinfinity bleibt alsdann sinnlos, und ul divergirt. Diver- genz kann in unsrer Disziplin immer nur "oszillatorisch" stattfinden.
Ungeachtet solcher Sinnlosigkeit dieses Symbols kann man doch -- worauf ich indessen zur Zeit kein grosses Gewicht lege -- mit Subsum- tionen, in welchen dasselbe als Subjekt oder als Prädikat auftritt, einen ganz bestimmten Sinn verbinden. Man mag nämlich schreiben: auinfinityb um damit auszudrücken, dass
a Augen hat nur oder höchstens an solchen Stellen, die zu den de- finitiv besetzten irgend eines ul von hinreichend grossem Zeiger l gehören, wogegen also a alle die bei den ul immerfort oszillatorisch besetzten und die definitiv unbesetzten Stellen zu Leerstellen haben muss,
desgleichen, dass b Leerstellen hat nur oder höchstens an solchen Stellen, die zu den definitiv unbesetzten eines hinreichend hohen ul ge- hören, wogegen also b alle die bei den ul definitiv besetzten, sowie auch die immerfort oszillatorisch besetzten Stellen der ul, zum mindesten, mit Augen besetzt zeigen muss.
In solchem Falle wird es auch einen umfassendsten oder Maximal- wert des a, der noch der Forderung auinfinity genügt (eventuell freilich = 0 sein mag) geben, den man als die "untere Grenze" (limes inferior) dieses
*) Nicht: "oszillirende"; die Stelle selbst schwankt nicht, nur ihre Be- setzung, das Auge, schwankt (blinkt, szintillirt) zwischen Vorhandensein und Nichtsein.
§ 13. Grenzwerte und Konvergenz.
wir alsdann dasjenige Relativ, welches an den „definitiv besetzten“ Stellen von uλ Augen trägt, die „definitiv unbesetzten“ Stellen von uλ aber zu Leerstellen hat. Und diesen Grenzwert werden wir kurz mit u∞ bezeichnen.
Im Allgemeinen wird es aber Stellen ij geben, die weder zu den definitiv besetzten noch zu den definitiv unbesetzten Stellen des von λ abhängigen uλ gehören, bei welchen es vielmehr zu jedem noch so grossen Zeiger n stets Zahlwerte m > n gibt derart, dass wenn in un die Stelle besetzt war, sie in um wieder unbesetzt erscheint, und um- gekehrt.
Solche in uλ bei wachsendem λ schwankend (wenn auch nicht not- wendig in regelmässigem Wechsel) bald besetzte, bald auch einmal wieder unbesetzte Stellen mögen „oszillatorisch besetzte“ (und ebenso unbesetzte) oder (endgültig) oszillatorische*) Stellen von uλ heissen.
Ist auch nur eine solche Stelle oder sind ihrer gar mehrere vor- handen, so lässt sich mit dem Zeichen u∞ kein bestimmter Begriff (als eines Relativs) verbinden, weil hier jeglicher Beweggrund fehlt der dafür den Ausschlag zu geben vermöchte, ob solche Stelle darin als besetzte oder als unbesetzte figuriren solle.
Das Symbol u∞ bleibt alsdann sinnlos, und uλ divergirt. Diver- genz kann in unsrer Disziplin immer nur „oszillatorisch“ stattfinden.
Ungeachtet solcher Sinnlosigkeit dieses Symbols kann man doch — worauf ich indessen zur Zeit kein grosses Gewicht lege — mit Subsum- tionen, in welchen dasselbe als Subjekt oder als Prädikat auftritt, einen ganz bestimmten Sinn verbinden. Man mag nämlich schreiben: a⋹u∞⋹b um damit auszudrücken, dass
a Augen hat nur oder höchstens an solchen Stellen, die zu den de- finitiv besetzten irgend eines uλ von hinreichend grossem Zeiger λ gehören, wogegen also a alle die bei den uλ immerfort oszillatorisch besetzten und die definitiv unbesetzten Stellen zu Leerstellen haben muss,
desgleichen, dass b Leerstellen hat nur oder höchstens an solchen Stellen, die zu den definitiv unbesetzten eines hinreichend hohen uλ ge- hören, wogegen also b alle die bei den uλ definitiv besetzten, sowie auch die immerfort oszillatorisch besetzten Stellen der uλ, zum mindesten, mit Augen besetzt zeigen muss.
In solchem Falle wird es auch einen umfassendsten oder Maximal- wert des a, der noch der Forderung a ⋹ u∞ genügt (eventuell freilich = 0 sein mag) geben, den man als die „untere Grenze“ (limes inferior) dieses
*) Nicht: „oszillirende“; die Stelle selbst schwankt nicht, nur ihre Be- setzung, das Auge, schwankt (blinkt, szintillirt) zwischen Vorhandensein und Nichtsein.
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§ 13. Grenzwerte und Konvergenz.
wir alsdann dasjenige Relativ, welches an den „definitiv besetzten“
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aber zu Leerstellen hat. Und diesen Grenzwert werden wir kurz mit
u∞ bezeichnen.
Im Allgemeinen wird es aber Stellen ij geben, die weder zu den
definitiv besetzten noch zu den definitiv unbesetzten Stellen des von λ
abhängigen uλ gehören, bei welchen es vielmehr zu jedem noch so
grossen Zeiger n stets Zahlwerte m > n gibt derart, dass wenn in un
die Stelle besetzt war, sie in um wieder unbesetzt erscheint, und um-
gekehrt.
Solche in uλ bei wachsendem λ schwankend (wenn auch nicht not-
wendig in regelmässigem Wechsel) bald besetzte, bald auch einmal
wieder unbesetzte Stellen mögen „oszillatorisch besetzte“ (und ebenso
unbesetzte) oder (endgültig) oszillatorische *) Stellen von uλ heissen.
Ist auch nur eine solche Stelle oder sind ihrer gar mehrere vor-
handen, so lässt sich mit dem Zeichen u∞ kein bestimmter Begriff (als
eines Relativs) verbinden, weil hier jeglicher Beweggrund fehlt der
dafür den Ausschlag zu geben vermöchte, ob solche Stelle darin als
besetzte oder als unbesetzte figuriren solle.
Das Symbol u∞ bleibt alsdann sinnlos, und uλ divergirt. Diver-
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Ungeachtet solcher Sinnlosigkeit dieses Symbols kann man doch —
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a Augen hat nur oder höchstens an solchen Stellen, die zu den de-
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wogegen also a alle die bei den uλ immerfort oszillatorisch besetzten und
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Stellen, die zu den definitiv unbesetzten eines hinreichend hohen uλ ge-
hören, wogegen also b alle die bei den uλ definitiv besetzten, sowie auch
die immerfort oszillatorisch besetzten Stellen der uλ, zum mindesten, mit
Augen besetzt zeigen muss.
In solchem Falle wird es auch einen umfassendsten oder Maximal-
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setzung, das Auge, schwankt (blinkt, szintillirt) zwischen Vorhandensein und
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 181. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/195>, abgerufen am 28.04.2024.
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