lösung nach einheitlichem Schema bewerkstelligen lässt, und will ich darum ein Paar von solchen noch namhaft machen.
§ 13. Fortsetzung. Iterationen. Grenzwerte und Konvergenz. Potenz.
Von ziemlicher Allgemeinheit sind die beiden Klassen von Auf- lösungsproblemen, wo die nach x aufzulösende Proposition sich äqui- valent darstellen lässt in der einen oder andern der beiden Formen: xph(x), ps(x) x.
Es sind die Fälle, wo das Polynom F(x) unsrer Gleichung F(x) 0 den Faktor x, oder xn, aufweist -- dessen Kofaktor, resp. der selber, als- dann negirt auf die andre Seite geworfen werden kann (als Addend zur 0).
Eine "befriedigende" allgemeine Lösung des Problems lässt in diesen beiden Fällen sich immer angeben in Gestalt der unbegrenzt oft iterirten Funktion eines arbiträren Relativs u, nämlich als x = finfinity(u), wo f(u) einen gewissen Ausdruck vorstellt. Und zwar gelten die beiden Theoreme: 1)
[Tabelle]
bedeutet.
Die Erläuterung und Begründung dieser beiden Sätze veranlasst uns noch zu mehrern wichtigen Bemerkungen.
Zuvörderst werden für eine irgendwie gegebene Funktion f(u) (Relativfunktion oder "Funktion" im bisherigen Sinne der Algebra der binären Relative verstanden) die "Iterationen" fr(u) zu definiren sein -- zunächst für alle "Exponenten" r, die (endliche) natürliche Zahlen sind.
Diese Definition hat in der üblichen Weise "durch Induktion" zu erfolgen, indem man nämlich ausmacht, dass: 2)
[Formel 1]
bedeuten solle -- wozu nur zu bemerken ist, dass die als "Exponenten" 0, 1, 2, .. r, r + 1, ... auftretenden Symbole in unsrer Theorie niemals als Relative, sondern immer nur als natürliche Zahlen aufgefasst wer- den müssen.
Nun ist ja allerdings einer der vornehmsten Zwecke unsrer Theorie der: die logische Grundlage der Zahlenlehre zu liefern, sozusagen dem Anzahlbegriffe auf den Grund zu kommen, namentlich auch die sogenannte "Definition durch Induktion" als eine Definition zu rechtfertigen, ihre Wirk-
Fünfte Vorlesung.
lösung nach einheitlichem Schema bewerkstelligen lässt, und will ich darum ein Paar von solchen noch namhaft machen.
§ 13. Fortsetzung. Iterationen. Grenzwerte und Konvergenz. Potenz.
Von ziemlicher Allgemeinheit sind die beiden Klassen von Auf- lösungsproblemen, wo die nach x aufzulösende Proposition sich äqui- valent darstellen lässt in der einen oder andern der beiden Formen: x⋹φ(x), ψ(x) ⋹x.
Es sind die Fälle, wo das Polynom F(x) unsrer Gleichung F(x) ⋹ 0 den Faktor x, oder x̄, aufweist — dessen Kofaktor, resp. der selber, als- dann negirt auf die andre Seite geworfen werden kann (als Addend zur 0).
Eine „befriedigende“ allgemeine Lösung des Problems lässt in diesen beiden Fällen sich immer angeben in Gestalt der unbegrenzt oft iterirten Funktion eines arbiträren Relativs u, nämlich als x = f∞(u), wo f(u) einen gewissen Ausdruck vorstellt. Und zwar gelten die beiden Theoreme: 1)
[Tabelle]
bedeutet.
Die Erläuterung und Begründung dieser beiden Sätze veranlasst uns noch zu mehrern wichtigen Bemerkungen.
Zuvörderst werden für eine irgendwie gegebene Funktion f(u) (Relativfunktion oder „Funktion“ im bisherigen Sinne der Algebra der binären Relative verstanden) die „Iterationen“ fr(u) zu definiren sein — zunächst für alle „Exponenten“ r, die (endliche) natürliche Zahlen sind.
Diese Definition hat in der üblichen Weise „durch Induktion“ zu erfolgen, indem man nämlich ausmacht, dass: 2)
[Formel 1]
bedeuten solle — wozu nur zu bemerken ist, dass die als „Exponenten“ 0, 1, 2, ‥ r, r + 1, … auftretenden Symbole in unsrer Theorie niemals als Relative, sondern immer nur als natürliche Zahlen aufgefasst wer- den müssen.
Nun ist ja allerdings einer der vornehmsten Zwecke unsrer Theorie der: die logische Grundlage der Zahlenlehre zu liefern, sozusagen dem Anzahlbegriffe auf den Grund zu kommen, namentlich auch die sogenannte „Definition durch Induktion“ als eine Definition zu rechtfertigen, ihre Wirk-
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Fünfte Vorlesung.
lösung nach einheitlichem Schema bewerkstelligen lässt, und will ich darum
ein Paar von solchen noch namhaft machen.
§ 13. Fortsetzung. Iterationen. Grenzwerte und Konvergenz.
Potenz.
Von ziemlicher Allgemeinheit sind die beiden Klassen von Auf-
lösungsproblemen, wo die nach x aufzulösende Proposition sich äqui-
valent darstellen lässt in der einen oder andern der beiden Formen:
x⋹φ(x), ψ(x) ⋹x.
Es sind die Fälle, wo das Polynom F(x) unsrer Gleichung F(x) ⋹ 0
den Faktor x, oder x̄, aufweist — dessen Kofaktor, resp. der selber, als-
dann negirt auf die andre Seite geworfen werden kann (als Addend zur 0).
Eine „befriedigende“ allgemeine Lösung des Problems lässt in
diesen beiden Fällen sich immer angeben in Gestalt der unbegrenzt oft
iterirten Funktion eines arbiträren Relativs u, nämlich als x = f∞(u),
wo f(u) einen gewissen Ausdruck vorstellt. Und zwar gelten die beiden
Theoreme:
1)
bedeutet.
Die Erläuterung und Begründung dieser beiden Sätze veranlasst
uns noch zu mehrern wichtigen Bemerkungen.
Zuvörderst werden für eine irgendwie gegebene Funktion f(u)
(Relativfunktion oder „Funktion“ im bisherigen Sinne der Algebra der
binären Relative verstanden) die „Iterationen“ fr(u) zu definiren sein —
zunächst für alle „Exponenten“ r, die (endliche) natürliche Zahlen sind.
Diese Definition hat in der üblichen Weise „durch Induktion“
zu erfolgen, indem man nämlich ausmacht, dass:
2) [FORMEL]
bedeuten solle — wozu nur zu bemerken ist, dass die als „Exponenten“
0, 1, 2, ‥ r, r + 1, … auftretenden Symbole in unsrer Theorie niemals
als Relative, sondern immer nur als natürliche Zahlen aufgefasst wer-
den müssen.
Nun ist ja allerdings einer der vornehmsten Zwecke unsrer Theorie
der: die logische Grundlage der Zahlenlehre zu liefern, sozusagen dem
Anzahlbegriffe auf den Grund zu kommen, namentlich auch die sogenannte
„Definition durch Induktion“ als eine Definition zu rechtfertigen, ihre Wirk-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 178. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/192>, abgerufen am 24.11.2024.
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