Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Fünfte Vorlesung.

Insbesondre für die Annahme u = a decken sich beide Ergebnisse.

Nimmt man das Relativ u aufs Gerathewohl an, so ist es ent-
weder keine Wurzel der Gleichung 1) oder es ist eine solche: u = x.
In beiden Fällen — haben wir soeben gesehen — liefert f(u) eine
Wurzel, und zwar im erstern immer die schon bekannte, laut Voraus-
setzung existirende Wurzel a, im letztern aber die glücklich erratene
Wurzel x. Jedenfalls also liefert der obige Ausdruck f(u) blos Wur-
zeln der Gleichung F(x) = 0, und er liefert alle Wurzeln dieser
Gleichung, weil er irgend eine gewünschte x von diesen Wurzeln schon
bei der Annahme u = x reproduzirt.

Unser f(u) genügt mithin nicht nur den Anforderungen, die im
Begriff der allgemeinen Wurzel von 1) liegen, sondern obendrein auch
noch der ersten Adventivforderung 4) — vergl. S. 171.

Drücken wir — behufs Erleichterung des Druckes — die Negation
von F(u), bequemer wie durch F̅(u)̅, durch F̄(u) aus, so haben wir
nach alledem das Theorem:
12) [Formel 1]
— welchem noch, als einem für jedes a gültigen, das Symbol [Formel 2] voran-
gestellt werden dürfte.

Zur Erläuterung diene: Ist a keine Wurzel, mithin {F(a) = 0} = 0,
so ist 12) als eine Aussagensubsumtion von der Form 0 ⋹ R selbstver-
ständlich gültig, wennschon nichtssagend. Die Voraussetzung, dass die
Gleichung F(x) = 0 auflösbar sei, kann aber in der Form ausgedrückt werden:
[Formel 3] und garantirt uns, dass es gewisse a gebe, für welche die Prämisse unsres
Theorems {F(a) = 0} erfüllt, = 1 ist. Für jedes solche a muss dann
auch wegen (1 ⋹ R) = (R = 1) = R die rechte Seite R des Theorems 12)
Geltung haben, und diese drückt gemäss dem Schema 3) regelrecht aus,
dass der oben für f(u) angegebene Ausdruck 11) die allgemeine Wurzel
sei, was ja vorhin nachgewiesen worden.

Anmerkungsweise sei noch gesagt, dass die mit 11) gefundene und
in 12) angegebene allgemeine Lösung x = f(u) nach den Prinzipien
des Dualismus (aus Kontraposition) sich selbst entspricht.

Der dual entsprechend gebildete Ausdruck zu unserm x = f(u) aus 11)
wäre nämlich:
x = (a + 0 ɟ F̄ ɟ 0)(u + 1 ; F ; 1),
was durch Ausmultipliziren auf x = au + f(u) hinausläuft, und wo nun,
weil f(u) entweder = a oder = u ist, der Term au allemal absorbirt wird,
sich also nur x = f(u) wiedererzeugt.